公开课空间向量的数量积运算 ppt课件

＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
即 OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
题型二 利用数量积证明垂直关系
【例2】 已知: 如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，AO 是 PA在
平面 内的射影， l ，且 l OA，
r uuur r uuur uuur
a PA a(POOA) r uuur r uuur
P
a PO aOA
r
a r u P u 0A u r ,即 l P A .
O A a l
例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
kr b
③ (ab)ca(bc)
1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，
| b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝ __________， (a＋2b)·(a－b)＝__________.
[解析] a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝6 3；
a2＝|a|2＝9
【例4】如图所示，平行六面体ABCD－
A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝ 3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1 ＝60°，求AC1的长． [思路探索] 利用|A→C1|2＝A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 求解． 解 因为A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1，
所以A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 ＝A→B2＋A→D2＋A→A12＋2(A→B·A→D＋A→B·A→A1＋A→D·A→A1)．
u r u r r ru r ru r rr
gxm yn,lg x lm y ln, l
ru r ru r
r
Q lm 0 ,lm 0, ru r r u r
lg0 ,即 l g .
gl
m
ur
n
r n
ur m g
l g , 即 l 垂 直 于 平 面 内 任 一 直 线 . l .
题型三 利用数量积求两点间的距离
O
Baidu Nhomakorabea
A
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
如图，已知两个 量a,非 b.在零空向间任取 O， 一点 作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向a与 量 b的夹角， 记作a,： b
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？ 注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉
r r rr
r
rr
a的模|a|与b在a上投影 | b | cos a,b 的乘积
3)空间向量的数量积性质:
rr 对于非零向量 a , b ，有：
rr (1) c o s a , b
rr ra gbr
（求角的依据）
ab
r r rr ( 2 ) a b a b 0 （证明垂直的依据）
r2 r r (3) a a a
3.共面向量的基本定理： 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量
a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，
使 p=xa+yb 。
复习：
4．平面向量的夹角：
如图，已知两个 量a,非 b.在零空向间任取 O， 一点
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向a与 量 b的夹角，
记作a,： b
b
B
a
l
r
gl
m
ur
n
r n
ur m g
例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l,m,n, g
上取非零向量 rl,m ur,nr,ugr,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数( x , y ) ,使
求证： l PA
分析：用向量来证明
P
两直线垂直，只需证
r
明两直线的方向向量
O A a
的数量积为零即可！
l
例2 已知: P O ,A O 为 射 影 ,l ,且 l O A
求证：l PA
证明：在直线l上取向量
r a
r uuur ,只要证 aPA0
ru u u r ru u u r
Q a P O 0 ,a O A 0
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2
＝9＋6 3－32
＝6 3－23.
r
r
2.已知 a 2 2 , b
2
rr ,ab
2,
则
r a
r 与b
2
的夹角大小为_1_3_5__o .
题型一 利用数量积求夹角
【例1】
如图，在空间四边形OABC中，OA＝ 8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的 余弦值．
3.1.3空间向量的数量积运算
问题探究
探究： 如图, m、n是平面内的两
条相交直线, 如果l m,l n
求证：l
l
m
n
复习：
1.空间向量的加减法运算
（1）向量的加法：
ab
b
a
平行四边形法则
ab
a
三角形法则
复习：
ab
（2）向量的减法:三角形法则 b
a
2. 相等向量：
方向 相同 且模相等 的向量称为相等向量
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
[思路探索] 可先求向量O→A与B→C的夹角，再根据异面直线的
夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
解 因B→C＝A→C－A→B，
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
2）两个向量的数量积
rr rr rr
rr
已 知 空 间 两 个 向 量 a,b ， 则 abcosa,b叫 做 向 量 a,b 的 数 量 积 ，
rr 记 作 ： ab,即
rr rr rr ababcosa,b
注：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
③数量积的几何意义：
（求向量的长度的依据)
4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
1)(a)b(ab)(结合律)
rr rr 2)abba (交换律）
r r r rr rr 3）a(bc)abac (分配律）
思考:下列命题成立吗?
rr rr r r
①若abac rr
,则b
r
c
②若 abk ,则 a
rrr rrr