误差理论与数据处理第六章回归分析

第二节
N 2 N
一元线性回归
N 2 N
1 N l xx ( xt x) xt ( xt ) 2 110 N t 1 t 1 t 1
N 1 N l xy ( xt x)( yt y ) xt yt ( xt )( yt ) 758.7057 N t 1 t 1 t 1 t 1
t
y ) l yy
2
S N 1
回归平方和： U
ˆ t y ) 2 bl xy (y
t 1
U 1
反映总变差中由于x和y的线性关系而引起y的变化
残余平方和：Q
2 ˆ ( yt yt ) l yy blxy Q N 2 t 1
N

l xy l xx
b0 y b x
令
1 N l xx ( xt x) xt ( xt ) 2 N t 1 t 1 t 1
2 2 N 1 N l xy ( xt x)( yt y ) xt yt ( xt )( yt ) N t 1 t 1 t 1 t 1 N N N N

－
总计
N-1
－
－
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第二节
x /o C y/
19.1 76.30 25.0 77.80
一元线性回归
30.1 79.75 36.0 80.80 40.0 82.35 46.5 83.90 50.0 85.10
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
1)求导线电阻与温度的关系式;2)方差分析与显著性检验; 3)预报温度为20度时,导线的电阻值.
U /1 F Q /( N 2)
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第二节
一元线性回归
查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的
自由度1和N-2进行检验. 若 F F0.01(1, N 2), 回归在0.01的水平上高度显著。
F0.05 (1, N 2) F F0.01 (1, N 2), 回归在0.05的水平上显著。

产品的销售量与投入的广告费用之间的关系 水稻产量与施肥量的关系 加工误差与零件直径之间的关系
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第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析步骤
1) 由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式 2) 对回归方程进行方差分析和显著性检验 3) 因素分析
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1 N l yy ( yt y ) yt ( yt ) 2 5233.0990 N t 1 t 1 t 1
2 2
N
N
b
l xy l xx
6.89734; b0 y bx 2.8913
ˆ 2.8913 6.89734 x y
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来源 回归 残余 总计 平方和
U bl xy 60.574
自由度
方差 －
0.0514
F
F
U /1 1.18 103 Q /( N 2)
显著性
1 5 6
Q 0.257
S l yy 60.831
F0.01 (1,5) 16.26
－
－
－
4) 预报
y 70.90 0.2824 / 0 C 200 C 76.548
① F1显著，说明失拟误差大。 ② F1不显著，说明回归方程不显著可能与试验误差有关。
3）F2 检验
U / U F2 QE / QE
① F2不显著，说明试验误差是回归方程不显著的主要原因 ② F2显著，说明试验误差不是回归方程不显著的唯一原因，可能 失 拟误差也是回归方程不显著的原因之一。 合肥工业大学 误差理论与数据处理
2 2 2
b d11 ; b d 22 2 ; Rb b d12 2
0 0
d11 d12 d d 21 22
T X X


N N 2 x x t t 1 1 t 1 t 1 N Nlxx xt N t 1
残余标准差：

Q N 2
含义： 越小，回归直线的精度越高。
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第二节
（四）方差分析表
来源
回归 残余
一元线性回归
自由度
1 N-2
平方和
U bl xy
Q l yy bl xy S l yy
方差
－
F
F U /1 Q /( N 2)
显著性
F (1, N 2)
t 1 N
N
( yt y )(bxt bx ) (bxt bx ) 2
t 1 t 1
bl xy b l xx bl xy b
2
l xy l xx
l xx 0
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第二节
一元线性回归
总的离差平方和：S
N
(y
t 1
N
第六章 回归分析
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重点与难点

回归分析的基本概念和主要内容 一元线性回归方程的求法
回归方程的方差分析和显著性检验
一元非线性回归方法 多元线性回归
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第一节
回归分析的基本概念
yx s vt
2
一、变量之间的关系
函数关系
相关关系
如何求得 0 和 的最佳估计值呢? 最小二乘原理
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第二节
设得到的回归方程
一元线性回归
ˆ b0 bx y
残差方程为 vi yt y ˆt yt b0 bxt , t 1,2,, N
y1 y2 Y y N 1 1 X 1 x1 x2 xN v1 b0 v2 ˆ b V b v N
F0.10 (1, N 2) F F0.05 (1, N 2),回归在0.1的水平上显著。
F F0.10 (1, N 2), 回归不显著。
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第二节
一元线性回归
（三）残余方差与残余标准差
Q N 2
2
残余方差：排除了x 对y的线性影响后，衡量y随机波 动的特征量。
1 N l yy ( yt y ) yt ( yt ) 2 N t 1 t 1 t 1
2 2
N
N
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第二节
2 2
一元线性回归
2 2
ˆ b0 bx 的预报精度如何？ 问题一：回归直线 y
设x无误差, y ˆ b0 x b 2 xRb0b 根据最小二乘原理,
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第二节
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
一、回归方程的确定
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
x /o C y/
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 46.5 50.0
76.30
77.80
84 82 80 78 76
79.75
2 2 t 1 t 1 t 1
Q
N 可以证明： t 1
U
Sb bx U b Q ˆ t )( y ˆ t y ) ( yt b0 bxt )( bx ) ( yt y 0 t 0
t 1
S U Q
N N

( yt y bx bxt )(bxt bx )
反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其 它 因素对y变差的影响。
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第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小， U越大，Q越小，说明y与x的线性关 系愈密切。 计算统计量F
U / U F Q / Q
对一元线性回归，应为
解:1)作散点图
2)令 y b0 bx , 计算
1 N l xx xt ( xt ) 2 759.657 0C 2 N t 1 t 1
2 N 1 N l xy xt yt ( xt )( yt ) 214.498 0 C 2 N t 1 t 1 t 1 N N
引起变差的原因： A、自变量x的取值不同
y
yt
ˆt y
B、其它因素
如: 实验误差 其他自变量 与x非线性 与x无关
y
x
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第二节
N 2 N t 1 t 1 N N
一元线性回归
N
ˆt y ˆt y )2 S ( yt y ) ( yt y ˆt ) ( y ˆ t y ) 2 ( yt y ˆ t )( y ˆt y ) ( yt y
2 ˆ y y t t t 1
N
1 ( x x )2 y ˆ N l xx
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N 2
问题二: 回归直线是否符合 y 与x 间的客观规律？
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第二节
一元线性回归
问题: y 与x 的回归直线是否显著？
二、回归方程的方差分析及显著性检验
（一）回归方程的方差分析
N m t 1 i 1
N
t 1
L N 2
E N (m 1)
2 Q ( y y ) 误差平方和： E ti t
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4、F 统计检验
一元线性回归
U / U F F (1, Nm 2) Q / Q
1）回归方程显著性检验 QL / QL F1 2）F1 检验 QE / QE
80.80
82.35
83.90
85.10
散点图：
wenku.baidu.com
2025 30 35 40 45 50 合肥工业大学 误差理论与数据处理
第二节
一元线性回归
t 1,2,, N
设测量数据有如下结构形式：
yt 0 xt t ,
式中，1 , 2 ,, N 分别表示其它随机因素对电阻值 y1 , y2 ,, y N 影响的总和。
1 N l yy yt ( yt ) 2 60.813 2 N t 1 t 1
2
N
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b
l xy l xx
0.2824 / 0 C
b0 y b x 70.90
0
因此, y 70.90 0.2824 / C x 3) 方差分析和显著性检验
3、方差分析
S ( yti y )
t 1 i 1
N
m
2
S Nm 1
2 ˆ U m ( yt y ) mblxy U 1 t 1
N
Q QL QE
Q Nm 2
2

ˆt QL m yt y 失拟平方和：
m(l yy bl xy )


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第二节
三、重复试验情况
1、重复试验的目的：
一元线性回归

①减小试验误差 ②分析回归方程不显著的原因
2、重复试验回归方程的求法
用标准压力计对某固体压力传感器进行检定i=1~m ,所得数据如 表,试对仪器定标并分析仪器的误差。
t=1~N
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ˆ ( A T A) 1 A T L X
设测得值 yt 的精度相等，则有
1 T ˆ b (X X ) X TY
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第二节
N
一元线性回归
N
N 1 N ( xt x )( yt y ) xt yt ( xt )( yt ) N t 1 t 1 b t 1 N t 1 N N 1 2 2 2 ( x x ) x ( x ) t t t N t 1 t 1 t 1
第二节
5、方差分析表
来源 回归 平方和
一元线性回归
自由度
方差
F
U / U F Q / Q QL / L F1 QE / E
显著性
U mblxy
QL mlyy U
N m
U 1
L N 2
2
U / U
QL / L
F ( U , Q )
失拟
F ( L , E ) F ( U , E )