高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 文

B.x42－y2＝1
C.y42－x2＝1
D．y2－x42＝1
解：A，B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C，D 选 项中双曲线的焦点在 y 轴上，又令y42－x2＝0，得 y＝±2x，
令 y2－x42＝0，得 y＝±12x.故选 C.
(2013·湖北)已知 0<θ<π4，则双曲线 C1：sixn22θ－coys22θ＝1
ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0) x≥a 或 x≤－a y≥a 或 y≤－a
原点 O(0，0) A1(－a，0)，
A2(a，0) x 轴，y 轴
F1(0，－c)， F2(0，c)
2c＝2 a2＋b2
x＝±ac2
y＝±ac2 y＝±abx
自查自纠：
1．(1)绝对值 ＜ 焦点 焦距 (2)离心率
(3)等轴双曲线 充要 垂直
2．(2)ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a)
(7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝ac(e＞1)
(11)y＝±bax
(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方
程为 y＝±2x 的是( )
A．x2－y42＝1
解：∵方程λx＋2 2－λy＋2 1＝1 表示双曲线，∴(λ＋2)(λ ＋1)＞0，解得 λ＜－2 或 λ＞－1.故填(－∞，－2)∪(－1，
＋∞)．
(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方
程为 y＝±12x，则该双曲线的标准方程为____________．
解：根据双曲线的渐近线方程 y＝±12x，可设双曲线方程为 x42－y2＝λ(λ≠0)，将点(4， 3)代入得 λ＝1，∴双曲线方程为x42 －y2＝1.故填x42－y2＝1.
(2)(2015·天津)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐
近线过点(2， 3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的准
线上，则双曲线的方程为( )
A.2x12 －2y82 ＝1
＝1(a＞0，b＞0)．
∵双曲线过点(－5，2)，∴2a52－b42＝1，得 a2＝b225＋b24.
联立a2＝b225＋b24，
解得
a2＋b2＝c2＝6，
a2＝5，b2＝1，故所求双曲线方程为x52－y2＝1.
(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴 上，故可设双曲线方程为 Ax2＋By2＝1(AB＜0)，
第九章
平面解析几何
• 9.6 双 曲 线
1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的________ 等于常数 2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点 叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________． ※(2)另一种定义方式(见人教 A 版教材选修 1－1 P52 例 5)： 平面内动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常 数 e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点 F 叫做双曲线的一个焦点，定 直线 l 叫做双曲线的一条准线，常数 e 叫做双曲线的________． (3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率 e
线方程为 Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算．
(1)(2014·北京)设双曲线 C 的两个焦点为(－ 2，0)，
( 2，0)，一个顶点是(1，0)，则 C 的方程为________．
解：根据已知条件可判断双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点 在 x 轴上，c＝ 2，a＝1，b2＝c2－a2＝1，∴C 的方程为 x2－y2 ＝1.故填 x2－y2＝1.
∵所求双曲线经过 P(3，2 7)，Q(－6 2，7)，
∴9A＋28B＝1， 解得 72A＋49B＝1，
A＝－715，B＝215.
故所求双曲线方程为2y52 －7x52 ＝1.
(3)解法一：设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
易求 c＝2 5，∵双曲线过点(3 2，2)，
∴（3 a22）2－b42＝1，得 a2＝b128＋b24.
联立a2＝b128＋b24，
解得 a2＝12，b2＝8.
a2＋b2＝c2＝20，
故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
解法二：设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1，
将点(3 2，2)代入得 k＝4，所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
点拨： (1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线 焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲
与 C2：coys22θ－sixn22θ＝1 的(
)
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
解：易知双曲线 C1 与 C2 的焦距均为 2，故选 D.
(2015·广东)已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的离心率 e＝54，
且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为( )
A.x42－y32＝1
B.x92－1y62 ＝1
C.1x62 －y92＝1
D.x32－y42＝1
解：c＝5，e＝ac＝5a＝54，得 a＝4，b2＝c2－a2 ＝52－42＝9，双曲线方程为1x62 －y92＝1.故选 C.
已知曲线方程λx＋2 2－λy＋2 1＝1，若方程表示双曲线，
则 λ 的取值范围是________________．
＝ 2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线 两条渐近线互相______．一般可设其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
(1)图形
Hale Waihona Puke Baidu
(2)标准 方程
(3)范围 (4)中心
(5)顶点
(6)对称轴
(7)焦点
(8)焦距 (9)离心率 ※ (10) 准 线 (11) 渐 近 线方程
类型一 双曲线的定义及标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为( 6，0)； (2)对称轴为坐标轴，经过点 P(3，2 7)，Q(－6 2，7)；
(3)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)．
解：(1)∵焦点坐标为( 6，0)，焦点在 x 轴上，∴可设双曲线方程为ax22－by22