单相正弦交流电路基本知识
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u
则 p u iC Um sin t ICm cost
UIC sin 2t
结论：
电容元件和电感元
u i 同相,
ω t 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
3.2 单一参数的正弦交流电路
3.2.1 电阻元件
1、电阻元件上的电压、电流关系
i
=
u
R
i
电压、电流的瞬时值表达式为：
u
R
u 2 U sin t
i u R
2U R
sin t Im sin t
由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在
同相关系；数量上符合欧姆定律，即：
I
=
U R
荷，贮存电能的二端元件，当它两个
+q
+
极板间电压为零时，电荷也为零。电 E -q 容元件的储能本领可用电容量C表示
US －
C q 或 q Cu
u
其中电荷量q的单位是库仑（C）；电压u的单位是伏特
（V）；电容量C的单位为法拉（F）。
单位换算：1F=106μF=1012pF，
2. 电容元件上的电压、电流关系
0
t
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的相位差
例u U m sin(t u ), i I m sin(t i )
相位
初相
u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
t u t i
u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
3.1.2 相位差
介绍几个有关相位差的概念：
u u1
u3 u4 u2
ωt
u1与u2反相，即相位差为180°；
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。
u1与u4同相，即相位差为零。
已知工频电压有效值U＝220V，初相ψu＝60°；工频电流 有效值I＝22A，初相ψi＝－30°。求其瞬时值表达式、波 形图及它们的相位差。
u
L 设通过L中的电流为 i 2 I sin t
–
则L两端的电压为
uL
L
di dt
L
d (I m sin t)
dt
由式可推出L上电压与电流 之间在相位上存在90°的正交 关系，且电压超前电流。
I mL cost U Lm sin(t 90)
电压电流之间的数量关系： ULm=ImωL=ImXL 其中XL是电感电抗，简称感抗，单位是欧姆。
i +
iC
dq dt
C
du dt
C上u、i关系也属于动 态，因此C 是动态元件。
u
C 设加在C上的电压 u 2 U sin t
–
则C中通过的电流 iC
由式可推出C上电压与电流
之间在相位上存在90°的正交
C du C d (Um sin t)
dt
dt
UmC cost
关系，且电流超前电压。
正弦交流电解析式与波型图
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交
流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电
压和正弦电流。表达式为：
波形图为：
u、i
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
t 0
3.1.1 正弦量的三要素
1. 正弦交流电的周期、频率和角频率 周期T 正弦量完整变化一周所需要的时间。 频率f 正弦量在单位时间内变化的周数。
i
u i 同相,
u
吸收电能; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 储存磁能; 送出能量; 吸收电能; 送出能量;
p >0 释放磁能; 储存磁能; 释放磁能;
p<0
p >0
p<0
结论
电感元件上只有 ω t 能量交换而不耗
能，为储能元件
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
ICm sin(t 90)
电压电流之间的数量关系： ILm=UmωC=Um/XC
其中XC是电容电抗，简称容抗，单位也是欧姆。
3 容抗的概念
电容元件电压电流有效值关系为 IC=UC=U/XC
其中：
XC
1
2fC
1
C
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有在一
定频率下，电容元件的容抗才是常数。
电感元件的电压电流有效值关系为
XL
UL I
XL=2πf L=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上
电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元
件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交
流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟
正弦交流电流通过电感元件的时间。
感抗与哪些因 素有关？
容抗与哪些因 素有关？
直流情况 下容抗为 多大？
XC与频率成反比；与电容量C成反比， 因此频率越高电路中容抗越小，这被称 作电容元件的通交作用，高频电路中电 容元件相当于短路。
直流下频率f =0，所以XC=∞。我们说电 容元件相当于开路。（隔直作用）
4. 电容元件的功率关系
（1）瞬时功率 p
u U m sin t iC I Cm cos t
R40
U2 P
2202 40
1210
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之 为有功功率。
3.2.2 电感元件
1、自感系数和电磁感应
+i uΦ –
i
Φ
++ u eL
––
自感系数
L=
N
i
L 亨利
(H)
韦伯 (Wb
)
安(A)
L称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越大；
线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。
在图示 u、i 、e 假定参考方向的前提下，当通过线圈 的磁通或 i 发生变化时，线圈中产生感应电动势为:
eL
N
d
dt
L
di dt
2. 电感元件上的电压、电流关系
i +
uL
eL
L
di dt
由于L上u、i 为动态关 系，因此L 是动态元件。
平均功率用大写！
2.平均功率（有功功率）P (一个周期内的平均值)
由 p u i U m sin t I m sin t 可得 P = UI
UI UI cos 2t
例 求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？
解
R100
U2 P
2202 100
484
2. 功率
瞬时功率用小写！
（1）瞬时功率 p i 2 I sin ( t) 则
u 2 U sin ( t)
uip
u
p u i U m sin t I m sin t UI UI cos 2t
p=UI-UIcos2 t
UI
i
ωt
－UIcos2 t
结论：1. p随时间变化； 2. p≥0,为耗能元件。
XL与频率成正比；与电感量L成正比。
直流情况 下感抗为
多大？
直流下频率f =0，所以 XL=0。L 相当于短路。
3. 电感元件的功率
（1）瞬时功率 p
i Im sin t
则 p uL i U Lm cost Im sin t
uL U Lm cos t
U L I sin 2t
理论和实际都07I m
I m 2I 1.414I
3.1.1 正弦量的三要素
3. 正弦交流电的相位和初相
相位 正弦量解析式中随时间变化的电角度(ωt+φ)称
为相位，相位是时间的函数，反应了正弦量随时
间变化的整个进程。 u 311sin(t 45)V
初相 t=0时的相角φ，初相确定了正弦量计时始的位置。 u
p >0 电容放电; 建立电场; 电容放电;
p<0
p >0
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
（2）有功功率P=0，电容元件也不耗能！
（3） 无功功率QC（单位为乏尔Var）
QC UC I I 2 X C U 2C
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。 问题与讨论 1. 电容元件在直流、高频电路中如何？
第3章 单相正弦交流电路的基本知识
3.1 正弦 交流电路的 基本概念
3.2 单一 参数的正弦 交流电路
3.1 正弦交流电路的基本概念
前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电， 其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称 直流电。直流电的波形图如下图所示：
u、i
t 0
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常其大 小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如 图所示。
工频电角频率为314rad/s，所以瞬时值表达式:
u 220 2 sin(314t 3)V
u、i
ui
i 22 2 sin(314t - 6)A
ωt
波形图:
0
6
3
相位差:
u
i
3
( )
62
正弦量的最大值(或有效值)反映了正弦量的大小及作 功能力；角频率(或频率、周期)反映了正弦量随时间变 化的快慢程度；初相则确定了正弦量计时始的位置。 只要这三个要素确定之后，则正弦量无论是解析式还 是波形图，都是唯一和确切的。因此，我们把最大值 （或有效值）、角频率（或频率、周期）及初相称为 正弦量的三要素。
f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
2. 能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？ 不能！
3.2.3 电容元件
1. 电容 电容元件是实际电容器的理想化模型。如下图示，两块平
行的金属极板即构成一个电容元件。在电源作用下，两极板 上分别存贮等量异性电荷形成电场，贮存电能。
可见，电容元件是是一种能聚集电
最大值 正弦量在一个周期内振荡的正向最高点： u
Um
t 0
3.1.1 正弦量的三要素
有效值 指与交流电热效应相同的直流电数值。
例 iR
IR
i t 时间内在R上产生的热量为Q I通过Rt 时间内也产生Q热量
我们就把与交流电热效应相同的直流电流 I 的数值称为 i
的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
（2）有功功率P=0，电感元件不耗能！
（3） 无功功率QL （单位为乏尔Var）
无功功率可衡量电源与元件之间能量交换的规模。无功功
率的概念可理解为只交换不消耗。
QL
ULI
I
2
XL
U2 XL
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
问题与讨论 1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？
直流时C相当于开路，高频时C相当于短路。
2. 电感元件和电容元件有什么异同？ L和C上都存在相位正交关系，所不同的是L上电压超前电 流，C上电流超前电压，二者具有对偶关系： L和C都是储能 元件；直流情况下C相当开路；L相当于短路。
周期与频率的关系： f 1 T
角频率ω 正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系： 2 2f
T
3.1.1 正弦量的三要素
2. 正弦量的瞬时值、最大值和有效值 瞬时值 正弦量对应第一时刻的数值，通常用解析式表示：
u 311 sin(t 45)V i 7.07 sin(t 60)A
则 p u iC Um sin t ICm cost
UIC sin 2t
结论：
电容元件和电感元
u i 同相,
ω t 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
3.2 单一参数的正弦交流电路
3.2.1 电阻元件
1、电阻元件上的电压、电流关系
i
=
u
R
i
电压、电流的瞬时值表达式为：
u
R
u 2 U sin t
i u R
2U R
sin t Im sin t
由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在
同相关系；数量上符合欧姆定律，即：
I
=
U R
荷，贮存电能的二端元件，当它两个
+q
+
极板间电压为零时，电荷也为零。电 E -q 容元件的储能本领可用电容量C表示
US －
C q 或 q Cu
u
其中电荷量q的单位是库仑（C）；电压u的单位是伏特
（V）；电容量C的单位为法拉（F）。
单位换算：1F=106μF=1012pF，
2. 电容元件上的电压、电流关系
0
t
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的相位差
例u U m sin(t u ), i I m sin(t i )
相位
初相
u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
t u t i
u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
3.1.2 相位差
介绍几个有关相位差的概念：
u u1
u3 u4 u2
ωt
u1与u2反相，即相位差为180°；
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。
u1与u4同相，即相位差为零。
已知工频电压有效值U＝220V，初相ψu＝60°；工频电流 有效值I＝22A，初相ψi＝－30°。求其瞬时值表达式、波 形图及它们的相位差。
u
L 设通过L中的电流为 i 2 I sin t
–
则L两端的电压为
uL
L
di dt
L
d (I m sin t)
dt
由式可推出L上电压与电流 之间在相位上存在90°的正交 关系，且电压超前电流。
I mL cost U Lm sin(t 90)
电压电流之间的数量关系： ULm=ImωL=ImXL 其中XL是电感电抗，简称感抗，单位是欧姆。
i +
iC
dq dt
C
du dt
C上u、i关系也属于动 态，因此C 是动态元件。
u
C 设加在C上的电压 u 2 U sin t
–
则C中通过的电流 iC
由式可推出C上电压与电流
之间在相位上存在90°的正交
C du C d (Um sin t)
dt
dt
UmC cost
关系，且电流超前电压。
正弦交流电解析式与波型图
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交
流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电
压和正弦电流。表达式为：
波形图为：
u、i
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
t 0
3.1.1 正弦量的三要素
1. 正弦交流电的周期、频率和角频率 周期T 正弦量完整变化一周所需要的时间。 频率f 正弦量在单位时间内变化的周数。
i
u i 同相,
u
吸收电能; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 储存磁能; 送出能量; 吸收电能; 送出能量;
p >0 释放磁能; 储存磁能; 释放磁能;
p<0
p >0
p<0
结论
电感元件上只有 ω t 能量交换而不耗
能，为储能元件
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
ICm sin(t 90)
电压电流之间的数量关系： ILm=UmωC=Um/XC
其中XC是电容电抗，简称容抗，单位也是欧姆。
3 容抗的概念
电容元件电压电流有效值关系为 IC=UC=U/XC
其中：
XC
1
2fC
1
C
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有在一
定频率下，电容元件的容抗才是常数。
电感元件的电压电流有效值关系为
XL
UL I
XL=2πf L=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上
电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元
件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交
流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟
正弦交流电流通过电感元件的时间。
感抗与哪些因 素有关？
容抗与哪些因 素有关？
直流情况 下容抗为 多大？
XC与频率成反比；与电容量C成反比， 因此频率越高电路中容抗越小，这被称 作电容元件的通交作用，高频电路中电 容元件相当于短路。
直流下频率f =0，所以XC=∞。我们说电 容元件相当于开路。（隔直作用）
4. 电容元件的功率关系
（1）瞬时功率 p
u U m sin t iC I Cm cos t
R40
U2 P
2202 40
1210
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之 为有功功率。
3.2.2 电感元件
1、自感系数和电磁感应
+i uΦ –
i
Φ
++ u eL
––
自感系数
L=
N
i
L 亨利
(H)
韦伯 (Wb
)
安(A)
L称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越大；
线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。
在图示 u、i 、e 假定参考方向的前提下，当通过线圈 的磁通或 i 发生变化时，线圈中产生感应电动势为:
eL
N
d
dt
L
di dt
2. 电感元件上的电压、电流关系
i +
uL
eL
L
di dt
由于L上u、i 为动态关 系，因此L 是动态元件。
平均功率用大写！
2.平均功率（有功功率）P (一个周期内的平均值)
由 p u i U m sin t I m sin t 可得 P = UI
UI UI cos 2t
例 求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？
解
R100
U2 P
2202 100
484
2. 功率
瞬时功率用小写！
（1）瞬时功率 p i 2 I sin ( t) 则
u 2 U sin ( t)
uip
u
p u i U m sin t I m sin t UI UI cos 2t
p=UI-UIcos2 t
UI
i
ωt
－UIcos2 t
结论：1. p随时间变化； 2. p≥0,为耗能元件。
XL与频率成正比；与电感量L成正比。
直流情况 下感抗为
多大？
直流下频率f =0，所以 XL=0。L 相当于短路。
3. 电感元件的功率
（1）瞬时功率 p
i Im sin t
则 p uL i U Lm cost Im sin t
uL U Lm cos t
U L I sin 2t
理论和实际都07I m
I m 2I 1.414I
3.1.1 正弦量的三要素
3. 正弦交流电的相位和初相
相位 正弦量解析式中随时间变化的电角度(ωt+φ)称
为相位，相位是时间的函数，反应了正弦量随时
间变化的整个进程。 u 311sin(t 45)V
初相 t=0时的相角φ，初相确定了正弦量计时始的位置。 u
p >0 电容放电; 建立电场; 电容放电;
p<0
p >0
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
（2）有功功率P=0，电容元件也不耗能！
（3） 无功功率QC（单位为乏尔Var）
QC UC I I 2 X C U 2C
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。 问题与讨论 1. 电容元件在直流、高频电路中如何？
第3章 单相正弦交流电路的基本知识
3.1 正弦 交流电路的 基本概念
3.2 单一 参数的正弦 交流电路
3.1 正弦交流电路的基本概念
前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电， 其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称 直流电。直流电的波形图如下图所示：
u、i
t 0
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常其大 小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如 图所示。
工频电角频率为314rad/s，所以瞬时值表达式:
u 220 2 sin(314t 3)V
u、i
ui
i 22 2 sin(314t - 6)A
ωt
波形图:
0
6
3
相位差:
u
i
3
( )
62
正弦量的最大值(或有效值)反映了正弦量的大小及作 功能力；角频率(或频率、周期)反映了正弦量随时间变 化的快慢程度；初相则确定了正弦量计时始的位置。 只要这三个要素确定之后，则正弦量无论是解析式还 是波形图，都是唯一和确切的。因此，我们把最大值 （或有效值）、角频率（或频率、周期）及初相称为 正弦量的三要素。
f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
2. 能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？ 不能！
3.2.3 电容元件
1. 电容 电容元件是实际电容器的理想化模型。如下图示，两块平
行的金属极板即构成一个电容元件。在电源作用下，两极板 上分别存贮等量异性电荷形成电场，贮存电能。
可见，电容元件是是一种能聚集电
最大值 正弦量在一个周期内振荡的正向最高点： u
Um
t 0
3.1.1 正弦量的三要素
有效值 指与交流电热效应相同的直流电数值。
例 iR
IR
i t 时间内在R上产生的热量为Q I通过Rt 时间内也产生Q热量
我们就把与交流电热效应相同的直流电流 I 的数值称为 i
的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
（2）有功功率P=0，电感元件不耗能！
（3） 无功功率QL （单位为乏尔Var）
无功功率可衡量电源与元件之间能量交换的规模。无功功
率的概念可理解为只交换不消耗。
QL
ULI
I
2
XL
U2 XL
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
问题与讨论 1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？
直流时C相当于开路，高频时C相当于短路。
2. 电感元件和电容元件有什么异同？ L和C上都存在相位正交关系，所不同的是L上电压超前电 流，C上电流超前电压，二者具有对偶关系： L和C都是储能 元件；直流情况下C相当开路；L相当于短路。
周期与频率的关系： f 1 T
角频率ω 正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系： 2 2f
T
3.1.1 正弦量的三要素
2. 正弦量的瞬时值、最大值和有效值 瞬时值 正弦量对应第一时刻的数值，通常用解析式表示：
u 311 sin(t 45)V i 7.07 sin(t 60)A