人教版九年级数学下册 2 相似三角形的性质课件
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A
D
B
C
E
F
例题与练习
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴ DE = DF = 1 . AB AC 2
又 ∠D=∠A ，
∴ △DEF∽△ABC ，
△DEF 与△ABC 的相似比为
1 2
．
∵ △ABC 的边BC上的高是 6，面积是12 5 ，
∴
△DEF
的边EF上的高为
1 2
猜想：相似三角形的对应中线、对应角平分线和对 应高线有何性质？
猜想和探究
已知ABC A'B'C',其相似比为 AB BC CA k, A'B' B'C' C'A'
AD和A'D'分别是BC和B'C'边上的高，求证：AD =k.
A＇
A'D'
A
BD
C B＇ D＇
C＇
分析：要证
AD A' D '
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，
面积为 12 5 ,求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
由 AP = AQ ,即 4x = 30-3x，得x = 90 ,
AC AB 30 20
17
面积比为
AP
2
AC
144 . 289
提高与拓展
练习3：在△ABC中，AE ︰ EB=1 ︰ 2 ，EF∥BC ，
AD∥BC交CE 的延长线于D.求 SAEF : SBCE .
答案：1 ︰6
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
猜想和探究
1.相似三角形有哪些判定定理？相似三角形的边和 角分别有什么性质？
判定定理: （1）三边成比例的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）两角分别相等的两个三角形相似.
性质: （1）对应边成比例; （2）对应角相等. 2.全等三角形的对应线段——对应中线、对应角平 分线和对应高线各有什么性质？ 性质：全等三角形的对应中线、对应角平分线及对 应高线都分别相等.
作业布置: 教材第42～43页习题27.2 第6,12题.
提高与拓展
解：（1）由题意可知AP=4x,AQ=30- 3x. 因为 PQ∥BC， 所以
即
解得
提高与拓展
（2）当PQ∥BC时， ΔAPQ ∽ΔABC.
由（1）可知 x 10 , AP 4x 40 ,
3
3
面积比为
AP
2
AB
4; 9
当 ∠APQ= ∠ACB时, APQ ∽ACB.
×6=3，
面积为
1
2
2
12
5 =3
5.
例题与练习
练习2：
2.如图, △ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，
A′D′、 B′E′是△A′B′C′的高，求证
AD A' D'
=
BE B' E'
.
解：因为△ABC∽△A′B′C′，
AD、 A′D′是△ABC和△A′B′C′的高，
课堂小结与作业布置
课堂小结: 回顾思考:相似三角形有哪些性质？ 1.从边的角度看：对应边的比等于相似比. 2.从角的角度看：对应角相等. 3.从对应线段的角度看：对应高、对应中线 、对应 角平分线的比都等于相似比.
4.从周长和面积的角度看：对应周长的比等于相似 比，对应面积的比等于相似比的平方.
课堂小结与作业布置
生成与挖掘
1.根据你的猜想和证明，你发现相似三角形的对应 中线、对应角平分线、对应高各有什么性质？请你用文 字、图形和符号语言分别描述出来.
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、' AF 和 A'F ' ，则有
所以
AD AB A' D' = A' B' .
同理
BE B' E'
=
AB A' B'
.
所以
AD A' D'
=
BE B' E'
.
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
解：放缩比例是300%, 面积扩大为原来的9倍.
提高与拓展
例2 如图，在△ABC中， BA= BC=20 cm，AC= 30 cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4 cm的速度向B 点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度 向A点运动，设运动时间为x 秒.
(1) 当x为何值时，PQ∥BC?
(2) 如果△ABC与以点A,P,Q为 顶点的三角形相似，试求出它们的面积比.
k，
即证明
AD A' D '
AB A' B '
k,
只需证明
ABD∽A'B'D', 不难发现 ∠ B = ∠ B' ,∠ ADB = ∠ A' D' B' .
猜想和探究
结论1: 两个相似三角形对应高的比等于相似比.
试一试：请仿照上述方法猜想并证明两个相似三 角形对应中线、对应角平分线的性质.
AD AE AF A' D' = A' E' = A' F' = k.
生成与挖掘
2. 全等三角形的周长有何种关系？若相似三角形 相似比为k,请你猜想：它们的周长的比与相似比有何 关系？请结合图形进行说明，并描述你的结论.
A
A'
B
C B'
C'
结论2：相似三角形周长的比等于相似比.
生成与挖掘
3. 如果相似三角形的相似比为k,请你猜想：它们 的面积的比与相似比有何关系？请结合图形说明，并描 述你的结论.
A
A'
B
C B'
C'
结论3：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
生成与挖掘
相似三角形的性质： 如果两个Hale Waihona Puke Baidu似三角形的相似比为k,则它们的对应线
段（高、中线、角平分线）和周长的比都等于相似比， 它们所对应面积的比等于相似比的平方.
辨析结论
练习1： 1.判断题（正确的画“√”，错误的画“Χ”）
（1）一个三角形各边长扩大为原来的5倍，这个三角
D
B
C
E
F
例题与练习
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴ DE = DF = 1 . AB AC 2
又 ∠D=∠A ，
∴ △DEF∽△ABC ，
△DEF 与△ABC 的相似比为
1 2
．
∵ △ABC 的边BC上的高是 6，面积是12 5 ，
∴
△DEF
的边EF上的高为
1 2
猜想：相似三角形的对应中线、对应角平分线和对 应高线有何性质？
猜想和探究
已知ABC A'B'C',其相似比为 AB BC CA k, A'B' B'C' C'A'
AD和A'D'分别是BC和B'C'边上的高，求证：AD =k.
A＇
A'D'
A
BD
C B＇ D＇
C＇
分析：要证
AD A' D '
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，
面积为 12 5 ,求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
由 AP = AQ ,即 4x = 30-3x，得x = 90 ,
AC AB 30 20
17
面积比为
AP
2
AC
144 . 289
提高与拓展
练习3：在△ABC中，AE ︰ EB=1 ︰ 2 ，EF∥BC ，
AD∥BC交CE 的延长线于D.求 SAEF : SBCE .
答案：1 ︰6
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
猜想和探究
1.相似三角形有哪些判定定理？相似三角形的边和 角分别有什么性质？
判定定理: （1）三边成比例的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）两角分别相等的两个三角形相似.
性质: （1）对应边成比例; （2）对应角相等. 2.全等三角形的对应线段——对应中线、对应角平 分线和对应高线各有什么性质？ 性质：全等三角形的对应中线、对应角平分线及对 应高线都分别相等.
作业布置: 教材第42～43页习题27.2 第6,12题.
提高与拓展
解：（1）由题意可知AP=4x,AQ=30- 3x. 因为 PQ∥BC， 所以
即
解得
提高与拓展
（2）当PQ∥BC时， ΔAPQ ∽ΔABC.
由（1）可知 x 10 , AP 4x 40 ,
3
3
面积比为
AP
2
AB
4; 9
当 ∠APQ= ∠ACB时, APQ ∽ACB.
×6=3，
面积为
1
2
2
12
5 =3
5.
例题与练习
练习2：
2.如图, △ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，
A′D′、 B′E′是△A′B′C′的高，求证
AD A' D'
=
BE B' E'
.
解：因为△ABC∽△A′B′C′，
AD、 A′D′是△ABC和△A′B′C′的高，
课堂小结与作业布置
课堂小结: 回顾思考:相似三角形有哪些性质？ 1.从边的角度看：对应边的比等于相似比. 2.从角的角度看：对应角相等. 3.从对应线段的角度看：对应高、对应中线 、对应 角平分线的比都等于相似比.
4.从周长和面积的角度看：对应周长的比等于相似 比，对应面积的比等于相似比的平方.
课堂小结与作业布置
生成与挖掘
1.根据你的猜想和证明，你发现相似三角形的对应 中线、对应角平分线、对应高各有什么性质？请你用文 字、图形和符号语言分别描述出来.
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、' AF 和 A'F ' ，则有
所以
AD AB A' D' = A' B' .
同理
BE B' E'
=
AB A' B'
.
所以
AD A' D'
=
BE B' E'
.
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
解：放缩比例是300%, 面积扩大为原来的9倍.
提高与拓展
例2 如图，在△ABC中， BA= BC=20 cm，AC= 30 cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4 cm的速度向B 点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度 向A点运动，设运动时间为x 秒.
(1) 当x为何值时，PQ∥BC?
(2) 如果△ABC与以点A,P,Q为 顶点的三角形相似，试求出它们的面积比.
k，
即证明
AD A' D '
AB A' B '
k,
只需证明
ABD∽A'B'D', 不难发现 ∠ B = ∠ B' ,∠ ADB = ∠ A' D' B' .
猜想和探究
结论1: 两个相似三角形对应高的比等于相似比.
试一试：请仿照上述方法猜想并证明两个相似三 角形对应中线、对应角平分线的性质.
AD AE AF A' D' = A' E' = A' F' = k.
生成与挖掘
2. 全等三角形的周长有何种关系？若相似三角形 相似比为k,请你猜想：它们的周长的比与相似比有何 关系？请结合图形进行说明，并描述你的结论.
A
A'
B
C B'
C'
结论2：相似三角形周长的比等于相似比.
生成与挖掘
3. 如果相似三角形的相似比为k,请你猜想：它们 的面积的比与相似比有何关系？请结合图形说明，并描 述你的结论.
A
A'
B
C B'
C'
结论3：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
生成与挖掘
相似三角形的性质： 如果两个Hale Waihona Puke Baidu似三角形的相似比为k,则它们的对应线
段（高、中线、角平分线）和周长的比都等于相似比， 它们所对应面积的比等于相似比的平方.
辨析结论
练习1： 1.判断题（正确的画“√”，错误的画“Χ”）
（1）一个三角形各边长扩大为原来的5倍，这个三角