中国石油大学概率论3-1资料

例 3-1 设 r v X 服从（0-1）分布，求 X 的数学
期望 EX 。
解：由定义 3-1 知，X 的数学期望
EX xk pk 1 p 0 (1 p) p
k 1
例 3-2 设 r v X 服从参数为 的 Poisson 分布，
求 X 的数学期望 EX 。
解：由定义 3-1 知，X 的数学期望
P{X xi ,Y y j } pij （i, j 1，2，）
如果级数 g( xi , y j ) pij 绝对收敛，则有
第三章 随机变量的数字特征
§3.1 数 学 期 望 §3.2 方 差 §3.3 相关系数与相关阵
基本要求 重点与难点
第三章 随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述随机变量的 统计特性, 但实际应用中, 有时并不需要 知道分布函数而只需知道随机变量的某 些特征.
判断棉花质量时, 既看纤维的平均 长度, 又要看 纤维长度与平均长度的 偏离程度。平均长度越长, 偏离程度 越小, 质量就越好.
EX
xi pi
i1
e
k
k 0
m
k e
k!
e
e
k 1
k1(k 1)!
e
m0 m!
例 3-3 设 r v X 在[a，b]上服从均匀分布，求 EX 。
解：由定义 3-1 知，X 的数学期望
EX
xf (x)dx
ab
x
b
1
a
dx
ab 2
例 3-4 设r v X 服从指数分布，其概率密度为
k 1
称为期望，记作 EX ，即 Absolutely convergent
EX xk pk
（3-1）
k 1
否则，称 X 的数学期望不存在。
若 X 为连续型 r v,其概率分布为 f (x),如果广义积
分
xf
(
x)dx
绝对收敛,则称其为
X
的数学期望,记作
EX = xf (x)dx
（3-2）
否则，称 X 的数学期望不存在。
f
(x)
ex，
0，
x x
0 ,其中
0
0 为常数，求
X
的数
学期望 EX 。
解：由定义 3-1 知，X 的数学期望
EX
xf
( x)dx
0 xexdx
1（分部积分）
例 3-5 设 r v X 服从正态分布，即 X ~ N(, 2) ， 求 X 的数学期望 EX 。
解：由 f (x)
1
2
exp{
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离平均值的情况
内
—— 方差
容
描述两个 r.v.之间的某种关系的 数 —— 协方差与相关系数
§3.1 数学期望
[引例] 甲、乙两射手在相同的条件下进行射击， 其命中环数分别为 X 和Y ，其分布列如下：
X 8 9 10 Y 8 9 10 pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.4 0.4 试问如何评价甲、乙两射手射击水平的优劣。
解：甲：平均射中的环数为
8 3 9 1 10 6 9.3(环)
10 10
10
乙：平均射中的环数为
8
2 10
9
4 10
10
4 10
9.2
(环）
定义 3-1 若 X 为离散型 r v，其概率分布为
P{X xk } pk （k 1，2，）
若级数 xk pk 绝对收敛，则称其为 X 的数学期望，简
1 (1
x2
)
( x ),求证 X 的
数学期望不存在。 证明：由于
Байду номын сангаас
x
f
( x)dx
x
(1
x
2
dx )
0
x (1 x2
dx )
0
(1
x
x2
)
dx
2
0
1
x x
2
dx
1
ln(1
x2
)
|0
（不存在）
即非绝对收敛，所以X 的数学期望不存在。
例 3-6 已知r v X 在[0,1]上服从均匀分布，
1 2
(
x
)2}
，
x
，得
EX xf (x)dx x
1
exp{ 1 ( x )2}dx
2
2
令t
x
，可得
EX ( t)
1
exp{ t 2 }dt
2
2
exp{
t
2
}dt
t
exp{
t
2
}dt
2
2
2
2
例 3-5 设 r v X 服从 Cauchy 分布，其概率
密度为
f
(x)
解：由于 X ~ B(n, p) ，则
P{X k} Cnk pk qnk （k 0，1，2，，n）
由定理 3-1 知
EY Ee2X
EY
kn0Eeg2k(CXnk)pk
qnk
g(
xk
)
pk
n
Cnk
(
pe2
)kkq1 nk
k 0
(q pe2 )n
例 3-8 设 X ~ f (x) ，求 X 的数学期望。其中
（k 1，2，）如果级数 g(xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1
EY Eg ( X ) g( xk ) pk
k 1
（3-3）
（2）设连续型r v X 概率分布为 f (x) ，若
g( x) f ( x)dx 绝对收敛，则有
EY
Eg( X )
g
(
x)
f
(
x
)dx
（3-4）
5 13
例 3-7 设 X ~ B(n, p) ，Y e2 X ，求EY 。
1
0， 其它
故
EY
yfY
( y)dy
1 2
01 y
1 y
dy
1 2
01
ydy 1 3
事实上， EY EX 2 x2 f (x)dx 01 x2dx 1/ 3
定理 3-1 设Y 是随机变量 X 的函数，记为
Y g(X ) ，g(x) 为连续函数，
（1）设离散型 r.v X 的概率分布为P{X xk } pk
考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.
由上面例子看到，与随机变量有 关的某些数值，虽不能完整地描述随 机变量，但能清晰地描述随机变量在 某些方面的重要特征 , 这些数字特征 在理论和实践上都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
求 r.v Y X 2 的数学期望EY 。
解：由于X 由上章例 2-22
的概率密度为 的结果
f
X
(
x)
1， 0
0，
x 其它
1，
fY ( y) 2 1 y [ f X ( y ) f X ( y )] (0 y 1)
此时 fX (
y) 0, fX (
y)
1,即
fY
( y)
2
1 y
，
0
y
f
(
x)
ex
e
x
/ 2， / 2，
x0 x0
解：由定理 3-1 知
E X x f (x)dx
0 ( x)
ex 2
dx
0
x
ex 2
dx
1
定理 3-2 设( X，Y ) 是二维随机向量，
g( X，Y ) 为( X，Y ) 函数，且g 连续,
（1）若( X，Y ) 为离散型r v ，其概率分布为