2019年中考数学抢分训练之“小题狂做”:证明(含解析)

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证明
一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)[来~#源:中国教育出版&%^]
1.如图,已知直线a∥b,直线c与a、b分别交于A、B;且∠1=120°,则∠2=( ) A.60° B.120°C.30°D.150°
第1题图第2题图
2.如图,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A的度数为( ) A.100° B.90° C.80° D.70°
3.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( ) A.40° B.45° C.50° D.55°
第3题图第4题图
4.将一副三角板按如图所示摆放,图中∠α的度数是( )[:&~中@教*%]
A.75° B.90° C.105° D.120°[:
5.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4[^:&*@中教%]
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
6.如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是________.
第6题图第7题图
7.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,将梯形沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC边上的点A′处,若∠A′BC =15°,则∠A′BD的度数为________.
8.如图,在平行四边形A BCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件(AF=CE),使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).[:
[:@中%教*#^]
第8题图第9题图[:zz%ste*&p.c~o^m]
9.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB、CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为________.
三、解答题(本大题共3小题,共24分)[:zzs%&tep^.c@o#m]
10.(6分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.[:中国*^教&育@#出版]
[来#源%:@&中教*]
11.(8分)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
12.(10分)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点N,连接BM,DN.[中&%国教*^育出版~]
(1)求证:四边形BMDN是菱形.[~:zzst%ep.c*&#om]
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
[:
1.B 解析:∵∠1=120°,∴∠3=∠1=120°,∵直线a∥b,∴∠2=∠3=120°.故选B.
2.C 解析:∵DE∥BC,∠AED=40°,∴∠C=∠AED=40°,∵∠B=60°,∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60=80°.故选C.
3.A 解析:∵∠B=67°,∠C=33°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°.∵AD是
△ABC 的角平分线,∴∠CAD=12∠BAC=12
×80°=40°.故选A. 4.C 解析:∵图中是一副直角三角板,∴∠BAE=45°,∠E=30°,∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°,∴∠α=105°.故选C.
[:@^&z%zstep#]
5.B 解析:过点P 作P Q⊥OM,
垂足为Q ,则PQ 为最短距离,
∵OP 平分∠MON,
PA⊥ON,PQ⊥OM,
∴PA=PQ =2,
故选B.
6.4 解析:如图,过点D 作DE⊥AB 于点E ,
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴DE=CD ,
∵CD=4,
∴DE=4.故答案为4.[中国教育@出版&^*%]
7.30° 解析:∵梯形ABCD 中,AD∥BC,DC⊥BC,∴∠C=90°, ∵∠A′BC=15°,∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°,由折叠的性质可得:∠A=∠DA′B =105°,∠ABD=∠A′BD,∵AD∥BC,∴∠ABC=180°-∠A=75°,∴∠A′BD=∠AB C -
∠A′BC 2
=30°.故答案为30°.[:
8.AF =CE 解析:添加的条件是AF =CE.理由是:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴AF∥CE,∵AF =CE ,∴四边形AECF 是平行四边形.故答案为AF =CE.
9.AB∥CD 解析:根据题意,∠1与∠2是三角尺的同一个角,所以∠1=∠2,所以,AB∥CD(同位角相等,两直线平行).故答案为:AB∥CD.
10.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE,∵E 为AB 的中点,∴AE=BE ,在△AED 和△BFE 中,∠ADE=∠EFB,∠AED=∠BEF,AE =BE ,∴△AED≌△BFE(AAS);(3分)
(2)解:EG 与DF 的位置关系是EG⊥DF,理由为:连接EG ,∵∠GDF=∠ADE,∠ADE=∠BFE,∴∠GDF=∠BFE,(1分)由(1)△AED≌△BFE 得:DE =EF ,即GE 为DF 上的中线,∴GE⊥DF.(3分)
11.证明:∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠EAD=∠FCB=90°,(2分)
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,(1分)
在Rt△AED和Rt△CFB中,
∵∠ADE=∠CBF,∠EAD=∠FCB=90°,AE=CF
∴Rt△AED≌Rt△CFB,(3分)∴AD=BC,(1分)
∵AD∥BC,(1分)∴四边形ABCD是平行四边形.(8分) 12.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∵MN是BD的中垂线,∴OB=OD,BD⊥MN,(1分)
OM ON =
OD
OB
(2分),∴BM=DM,(1分)
∵OB=OD,∴四边形BMDN是平行四边形,(1分)
∵MN⊥BD,(1分)∴平行四边形BMDN是菱形.(1分) (2)解:∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD,(1分)
设MD长为x,则MB=DM=x,
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2
即x2=(8-x)2+42,解得:x=5,(2分)
答:MD长为5.(10分)。

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