《必修2：圆的标准方程》教案

答案与解析
1．【解析】圆的方程化为标准形式为 ，又相交所得弦长为 ，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心 ，故所求直线方程为 .
2．【解析】(1)
(2) .
3．【解析】如图，取AC的中点F，BD的中点E，
则OE⊥BD，OF⊥AC.又AC⊥BD，
∴四边形OEMF为矩形，设OF＝d1，OE＝d2，
∴d ＋d ＝OM2＝3.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线 ，
即5x＋7y－50＝0上，由 解得圆心坐标为(3,5)，
所以半径为 ＝ ，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
5．【解析】设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，
(2)当弦 被点 平分时，求直线 的方程．
2.已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1， )，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
3.已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．
5．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．
2．过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为________．
3．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
4.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
答案与解析
答案与解析
1加油．【解析】由已知条件 <1，即a2加油＋b2>1.因此点P(a，b)在圆外．
2．加油【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点加油，则x－y＋3＝0过圆心 ，
即－ ＋3＝0，∴加油m＝6.
3．【解析】设圆心为C(m,0) (m>0)，因为所加油求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，
5．【解析】由加油圆的几何性质知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2，∴kP加油Q＝－ ，故直线PQ的方程为y－2＝－ (x－1)，即x＋2y－5＝0.
1．过原点加油的直线与圆 相交所得加油弦的长为 ，则该直线的方程为________．
2．圆 内一点 ，过点 的直线 的倾斜角为 ，直线 交圆于 两点．
(1)当 时，求AB的长；
①x2和y2的加油系数相同且为1;②没有含xy的二次项．③D2＋E加油2－4F＞0.
类型一求圆的方程
在平面直角坐标系 中，记二次函数 （ ）与两坐标轴有三个交点．经过三加油个交点的圆记为 ．加油
（1）求实数 的取值范围；
（2）求圆 的方程；加油
（3）问圆 是否加油经过定点（其坐标与 的无关）？请证明你的结论．
256
25
5．【解加油析】(x-1)2+(y-3)2=
1.圆关于 关于原点 对称的圆的方加油程.
2.过点加油 向圆 所引的切线方程加油.
3.过点 ，圆心在 轴上的圆的方程是加油.
4.求过三点 的圆的方程，并求这个圆加油的半径长和圆心坐标.
5.已知一个圆的直径端点是 ，试求加油此圆的方程.
答案加油与解析
1．【解析】（x-2）2+y2=5加油
2．【解析】x=2或3x-4y+10=0
3．【加油解析】（x-2）2+y2=10
4．【解析】圆心坐标为（4，-3）圆的半加油径r=5圆的标准方程为：（x-4）2+（y+3加油）2=25
5．【解析】(x-x1)(x-x2)+(y-加油y1)(y-y2)=0
1.已知圆的圆心在直线 上，且与直线 切于点 加油，求圆的标准方程.
《必修2：圆的标准方程》教案
高中数学
适用年级
高二
适用区域加油
苏教版区域
课时时长（分钟）
2课时
加油知识点
圆的标准方程和一般方程，求圆的方程的一般加油方法
教学目标
会用待定系数法求圆的方程
教学重点
求圆的方加油程
教学难点
选取适当的圆的方程
【教学加油建议】
圆的方程是在直线的基础上进一步让学生建立方程研究几何图形性质的思想加油。充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主加油探究问题的兴趣。
加油【解析】（1）令 ，得抛物线于 加油轴的交点是
令 ，得 ，由题意 且 ，解得 且
（2）设所求圆的一般方程为
令 ，得 ，这加油与 是同一个方加油程，故 ，
令 ，得 ，此方程加油有一个根为 ，代入得
所以圆 的加油方程为
（3）圆 必过定点 ，
证明如下：将 代入圆 加油的方程，得左边 ，右边
所以圆 必过定点 ；
同理可证圆C必过定点 .
【总结与反思】1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即加油列出关于 的方程组，求 或直接求出圆心 和半径 .
2.待定系数法求圆的步加油骤：
（1）根据题意设所求的圆的标准方程为 ；
（2）根据已知条件，建立关于 的方程组；加油
（3）解方程组，求出 的值，并代入所设的方程，得到圆加油的方程.
4．【解析】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为 ，线段MN的中点坐标为 .由于平行四边形的对角线互相平分，
故 ＝ ， ＝ .
从而 .
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以，点M的轨迹方程为 。
【总结与反思】方程 中含有三个参变加油数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与加油它的标准方程的转化.
1.已知圆经过点 ，圆心在点 的圆的标准方加油程.
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程Байду номын сангаас如果是，请求出圆加油的圆心及半径.
3.写出圆心为 ，半径长为5的圆的方程，并判断点加油 是否在这个圆上.
又AC＝2 ，BD＝2 ，
∴S四边形ABCD＝ AC·BD＝2 · ＝2 .
∵0≤d ≤3.∴当d ＝ 时，S四边形ABCD有最大值是5.
4．【解析】因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－ ＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
答案与解析
1．【解析】（x-1）2+（加油y+2）2=2
2．【解析】（1）4x-3y-加油25=0（2）21x-20y+145=0或x=-5
3．【解析】3x-加油2y-3=0
4．【解析】x2+y2-11x+3y-30=0
5．【解析】(加油1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋加油F＝0，
将P、Q点的坐标分别代入得
所以 ＝2，整理得：|3m＋4|＝1加油0，解得m＝2或m＝－ (舍去)，
故所求圆的方加油程为(x－2)2＋y2＝4.
4．【解析】圆的方程化为(x＋加油1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a>加油0，即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，加油∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度加油.
二．圆的标准方程的两种求法：
⑴根据题设条件，列出关于 的方程加油组，解方程组得到 得值，写出圆的标准方程.
⑵根据确定圆的要素，以及题加油设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
三．待定系数法是加油数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：加油由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在加油求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.
已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆上 运动加油，求线段 的中点 的轨迹方程.
【解析】设点M的坐标为（x，y），点A的坐标加油为（x0，y0）
由于点B的坐标是（4，3），且点M是线段AB的中点，
所加油以 ，
于是有 ， ①
因为点A在圆 上加油运动，所以点A的坐标满足方程
即 ②
把①代入②得
整理得 加油
4. 的三个顶点的坐标是 ，求它的外接加油圆的方程.
5.求以 为圆心，并且和直线 相切的圆的方程.
答案加油与解析
1．【解析】(x-8)2+ (y加油+3)2= 25
2．【解析】（1）是圆,圆心为(1/2,-3/2),半径加油为1/2（2）不是圆.
3．【解析】 ,点M1在圆上，点M2不在圆上
4．【解析】（x加油-2）2+（y+3）2=25
【知识导图】
1.如何写出圆心在原加油点，半径为 的加油圆的方程？
2.如果圆心在加油 ，半径为 时又如何呢？
3.把圆的方程化加油简之后形式如何？
4.这种化简之后的形式有没有限制条件？
方程（x―加油a)2＋(y―b)2＝r2 叫做以 为圆心， 为半径加油的圆的标准方程。
特别地，当圆心在原点，半径加油为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.
（3）当D2＋E2－4F<0时时，方程没加油有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程x2＋y2＋Dx＋E加油y＋F=0表示的曲线不一定是圆 ,只有当D2＋E2加油－4F＞0时，它表示的曲线才是圆。
我们把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=加油0 (D2＋E2－4F＞0)的方程称为圆的一般方程 ，其特点为：
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为 .
∵圆C在点P处的切线斜率为1，∴kCP＝－1＝ ，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
1．直线 与圆 相切，则实数 ________．
∴x0＝1，即圆心坐加油标为(1，－4)，半径r＝2 ，
故圆的方程为(x－1)2＋(y加油＋4)2＝8.
方法二设所求方程为(x－x0)2＋(y加油－y0)2＝r2，
根据已知条件得 .
因此所求圆的方程为(x－1加油)2＋(y＋4)2＝8.
一．方法规纳
⑴利用圆的标准加油方程能直接求出圆心和半径.
⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的加油位置关系.
1．【解析】
2．【解析】
3．【解析】(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆．设 ＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时 ＝ ，解得k＝± .故 的最大值为 ，最小值为－ .
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时 ＝ ，即b＝－2± .故y－x的最大值为－2＋ ，最小值为－2－ .
3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的加油正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是__加油____________．
4．已知圆x2＋加油y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－加油b的取值范围是______．
5．若PQ是圆O加油：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线加油PQ的方程是______________．
加油注：圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需加油确定a、b、r这三个独立变量即可。
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0加油配方得： 加油②
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示以（ ， ）为圆心, 为半径的圆。
（2）当D2＋E2－4F=0时，方程只有实数解 ，即只表示一个点（ ， 加油）。
四.使用待定系数法的一般加油步骤：
⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；
⑵根据条件列出关于 或加油 的方程组；
⑶解出 或 ，代入标准方程或一般方程.
1．若直线ax＋b加油y＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)和圆的关系为________加油__．
2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0加油对称，则实数m的值为________．
2.已知圆 求：⑴过点 的切线方程加油.⑵过点 的切线方程
3.设直线 和圆 相交于 ，求弦 的垂加油直平分线方程.
4.求经过点 且与直线 相切于点 的圆的方加油程.
5.根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2,4)、Q(加油3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆加油心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2加油)．
又令y＝0，得x加油2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③加油的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36加油，④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，加油或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8加油＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)方法一如图，加油设圆心(x0，－4x0)，依题意得 ＝1，