高一数学 对数的运算

解：(1)lg 2 lg 5 lg( 2 5)
lg
10
1
lg10 2
1 lg10 2
1 2
(2) log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
3、利用换底公式，计算下列各式的值； （1）log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8, （2）logb a loga b;
练习:用lg x,lg y,lg z 表示下列各式:
(1) lg( xyz);
(2) lg xy2 ; z
xy3 (3)lg ;
z
x (4) lg y2z .
解： (1)lg(xyz) lg x lg( yz) lg x lg y lg z
(2)lg xy2 lg(xy2 ) lg z lg x 2lg y lg z
b
lg a lg b
lg b lg a
( lg3 lg 4
lg3)(lg 2 lg8 lg3
lg 2) lg 9
(
lg 3 lg 22
lg 3 lg 23
)(
lg lg
2 3
lg 2 lg 32
)
( lg3 lg3 )(lg 2 lg 2 ) 2lg 2 3lg 2 lg3 2lg3
5lg3 3lg 2 5 . 6lg 2 2lg3 4
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; N>0)
证明：设 loga N p
由对数的定义可以得： N a p ,
logc N logc a p
logc N p logc a,
p logc N
logc a
即证得
loga
N
logc logc
N a
这个公式叫做换底公式
结论：对数的运算性质
（3）log5
3
log
5
1 3
1 log5 (3 3) log5 1 0
（4）log3 5 log315
5 log3 15
log3 31
1
练习2.利用对数的换底公式化简下列各式
(1) loga c logc a (2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 2 (3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
1、用lg x,lg y,lg z表示下列各式；
（1）lg(xy2z3
)（; 2）lg
x yz2
答案（: 1）lg(xy2z3) lg x 2lg y 3lg z
(2)lg
x yz2
1 lg x lg y 2lg z 2
2、不用计算器，求下列各式的值； （1）lg 2 lg 5;(2)log3 45 log3 5
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,a 1, M 0, N 0)
探究二：结合前面的推导，由指数式
M N
ap aq
a pq
又能得到什么样的结论？
试一试:由
M N
ap aq
a pq 得
M loga N p q loga M loga N
(a 0,a 1, M 0, N 0)
z
(3)lg xy3 lg(xy3) lg z lg x 3lg y 1 lg z
z
2
x (4) lg y2 z lg
x lg( y2z) 1 lg x 2lg y lg z 2
点评：牢记对数的运算法则，直接利用公式。
例2 计算 （1）log2 (47 25) （2） lg 5 100
解：(1) log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8
lg3 lg 4 lg5 lg 6 lg 7 lg8 lg 2 lg3 lg 4 lg5 lg 6 lg 7
lg 8
lg 23
3lg 2
3
lg 2 lg 2 lg 2
(2) logb
a loga
解： (1) log2 (47 25) log2 47 log2 25
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2） lg 5 100 lg105
2
5
练习1: 求下列各式的值：
（1）log2 6 log2 3log2Fra bibliotek6 3
log2 2 1
（2）lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
探究三：结合前面的推导，由指数式 M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np nloga M
(a 0, a 1, M 0, n R)
探究四：结合对数的定义，你能推导出对数 的换底公式吗?
loga
N
logc N logc a
loga (M N ) loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n nloga M
loga
N
logc N logc a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; M 0, N 0, n R)
例1.用loga x,loga y,loga z表示下列各式
解:
(1) loga
c
logc
a
lg c lg a
lg a lg c
1;
(2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 2
lg3 lg 4 lg5 lg 2 1; lg 2 lg3 lg 4 lg5
(3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
2.2.1 对数与对数运算 (2)对数的运算
1.对数的运算性质 探究一：
将指数式 M a p , N aq化为对数式，
结合指数的运算性质能否将M N a p aq a pq
化为对数式？ 它们之间有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得 p loga M , q loga N 由 M N a p aq a pq 得 p q loga (M N )
1 log a
xy z
;
x2 y (2) loga 3 z
解 : 1loga
xy z
loga
xy loga
z
loga
x loga
y
loga
z
2loga
x2
3
y z
loga
x2
y loga 3 z
loga x2 loga y loga 3 z
1
1
2loga x 2 loga y 3 loga z