2020届高三高考命题专家预测密卷(一)数学(理)试题

【题文】

如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段AD ，BE 上的动点，且AM BN =.将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达D 1的位置（如图2），且1D E EC ⊥.

（1）证明：//MN 平面1D CE ；

（2）当M ，N 分别为1AD 和BE 的中点时，判断MN 的长度是否最短并求出；

（3）当MN 的长度最短时，求平面1D MN 与平面EMN 所成角（锐角）的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）MN 的长度最短，min 2MN =；（3）

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. 【解析】

【分析】

（1）分别在平面1D AE 和平面BCE 内，作//MG AE ，交1D E 于点G ，//NH BC ，交CE 于点H ，连接GH ，则//MG NH ．推导出四边形MNHG 是平行四边形，从而//MN GH ．由此能求出MN 与平面1D CE 平行．

（2）推导出1D E CE ⊥，22221(2)(2)222

GH x x x =-+=-+，(022)x <<，从而当2x =2min MN =．此时M ，N 分别是1AD 和BE 的中点．

（3）以E 为坐标原点，分别以EA ，EC ，1ED 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面1D MN 与平面EMN 所成角（锐角）的余弦值．

【详解】（1）证明：分别在平面1D AE 和平面BCE 内作//A MG E 交1D E 于点G ，

//NH BC 交CE 于点H ，连接GH

.

∵A //E BC ，∴//MG NH .设DM EN x ==(022x <<

在1Rt MGD ∆中，145D MG ∠=︒， 则22

MG x =，∴222GE x =-， 同理可求22NH x =

，∴MG NH =， 即四边形MNHG 是平行四边形.

∴//MN GH .

∴1MN D CE ⊄平面，1GH D CE ⊂平面

∴1//MN D CE 平面.

（2）M ，N 分别为1AD 和BE 的中点时，MN 的长度最短

∵1D E AE ⊥，1D E CE ⊥.

在1Rt D EC ∆中，22GE x =，2EH x = ∴()2222122222GH x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭

(022x << 当2x 时，min

2GH =M 、N 分别是1AD 和BE 的中点

由（1）知MN GH =

∴M ，N 分别为1AD 和BE 的中点时，MN

的长度最短，min MN =（3）以E 为坐标原点，分别以EA 、EC 、1ED 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知()0,0,0E ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,2D ，()1,0,1M ，()1,1,0N .

∴()11,0,1D M →=-，()11,1,2D N →=-，

∴()1,0,1EM →=，()1,1,0EN →=，

设()111,,m x y z →=是平面1D MN 的一个法向量，

由1100

m D M m D N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得11111020x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11z =，可得()1,1,1m →= 设()222,,n x y z →

=是平面EMN 的一个法向量， 由00n EM n EN ⎧⋅=⎨⋅=⎩

可得222200x z x y +=⎧⎨+=⎩.取21z =，可得()1,1,1n →=-. ∴1cos ,3m n n m n

m →→

→→→→⋅〈〉==⋅，平面1D MN 与平面EMN 所成角（锐角）的余弦值13

. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线段的中点的证明，考查面面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【标题】2020届高三高考命题专家预测密卷（一）数学（理）试题

【结束】