量子力学初步量子_8

谱线精细结构 电子自旋 自旋轨道耦合相互作用
强磁场中的正常塞曼效应
弱磁场中的反常塞曼效应
作业：讲义20 19-4
能 级 和 跃 迁
1 0 –1
0–L 0 0+L
[附录]
拉莫频率
玻尔磁子
是旋磁比
电子轨道的 g 因子 电子自旋的 g 因子
提纲 19-2原子光谱 原子光谱的塞曼效应
碱金属原子在强磁场中的
能量本征值方程
能量本征值对应的能级图
如Li原子及在强磁场中 2p----2s跃迁的塞曼分裂谱）
碱金属原子及在强磁场中
的能量本征值方程
哈密顿量： 定态薛定谔方程 价电子的本征函数 对应的能量本征值
在库仑屏蔽场中 的能量本征值
轨道磁矩与 磁场的贡献
因此，原来简并的能级分裂成
条。
称
为拉莫尔频率。
选择定则：只允许发生在 而且 或 的能级间的跃迁发生。
能量本征值对应的能级图
如 Li 原子及在强磁场中 锂 谱线的塞曼效应 有磁场 无磁场 2p
原子光谱的塞曼效应 一般情况下，原子中电子近似处于一个平均的 有心力场运动，其定态薛定谔方程解类似于氢 原子，能级由主量子数决定，且能级是简并的。 1896年塞曼发现原子在强磁场中，每条光谱线分 裂成三条谱线，其中一条与原来频率相同，另外 两条与其频差相等，一大一小，频差与磁场强度 有关，这称为正常塞曼效应。
在特殊（无耦合）情况下， 波函数有分离变量的形式：
是自旋本征态，满足本征方程：
所以 s 它只能取
自旋轨道耦合相互作用
电子轨道运动产生的内磁场 成正比。
与轨道角动量
电子自旋磁矩与自旋角动量的关系：
因此，电子自旋磁矩在轨道运动 产生的内磁场中相互作用能
考虑自旋轨道耦合相互作用，原子的哈密顿算符：
上述定态薛定谔的能量本征值 能很好地解释能级的精细结构。
自旋轨道耦合的物理意义 是它们形成了总角动量 在没有外磁场或外磁场很弱时 自旋轨道耦合不可忽略。
可以证明该哈密顿量对应的守恒量完全集合 是 ，即它们具有共同的本征 函数，并且是完备、正交的集合。 考虑自旋轨道耦合以后，描述原子状态的 好量子数不再是（n, l, m, s, ms ）而应该是 （n,l, s, j, mj ），在无外磁场时，具有相同 n, l, j, 的状态是简并的，称为原子的`多重态。
计及自旋轨道耦合
加弱磁场
m
4/3 2/3
E
3p
3/2 1/2 –1/2 –3/2 1/2 –1/2
3s 钠黄线的反常塞曼分裂
1/2 –1/2
2
强磁场中的正常塞曼效应 在强磁场中，因为外磁场很强，可以略去 自旋轨道耦合。波函数中自旋和空间部分 可以分离变量。哈密顿量H的本征态可选 为守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共同本征 态。能量的本征值为：
在非均匀磁场中原子磁矩除受磁力矩外， 还受一磁力：
因为角动量量子化，磁矩也量子化，所以在 非均匀磁场中， 态的原子束分裂成 条。
实验事实一 1921年，史特恩和盖拉赫在非均匀
磁场中一些处于s态的原子射线束， 一束分为两束的现象。它不能用轨 道角动量的空间量子化来加以解释。 仅用原子轨道磁矩是无法解释原子光谱的 多重复杂分裂。除了轨道磁矩之外，原子 内还有另外一种也是分立的磁矩存在。
为玻尔磁子
称为自旋量子数。
它只能取
磁场中一些处于 s 态的原子射线束，虽然轨道 角动量为零，但由于自旋角动量与磁场的相互 作用使其分裂成两条谱线。这就解释了史特恩 和盖拉赫的实验。 自旋、静质量和电荷都是 标志基本粒子的重要物理量。
考虑到电子的自旋，波函数应包含自旋沿某 方向只取两个值，即应有两个自旋自由度。
同理可证明，该哈密顿量对应的守恒量完全 集合是 ，即它们具有共同的 本征函数，并且是完备、正交的集合。
该定态薛定谔方程的 本征波函数
本征值分别为：
总角动量 j 取两个值
该定态薛定谔方程的 本征能量：
与 l 有关的选择定则是
与 J 有关的选择定则是 与 mj 有关的选择定则是
对于不受分子和晶格及外场作用的原子： （即自由原子）
提纲 19-2原子光谱 原子光谱的塞曼效应
碱金属原子在强磁场中的
能量本征值方程
能量本征值对应的能级图
如Li原子及在强磁场中 2p----2s跃迁的塞曼分裂谱）
谱线精细结构 电子自旋 自旋轨道耦合相互作用
强磁场中的正常塞曼效应 作业：讲义20
弱磁场中的反常塞曼效应
19-4
S, P, D, F代表不同的轨道量子数 l=1,2,3… 这些字母的左上方数字等于2s+1代表能级 的多重结构；右下方标明量子数 j。如氢 原子和碱金属的基态用 1S1/2表示。
附在光谱学中用小写 s, p, d, f, 表示 l=1,2,3,...
在泡利表象中， 的共同本征函数所 对应的本征值分别为：
总角动量 j 取两个值 计算表明：自旋轨道耦合造成的能级分裂， 随原子序数增大而增大。
上式说明：考虑自旋轨道耦合后，每个 l 能级 对应的谱线总是分裂成双线。
弱磁场中的反常塞曼效应
自旋轨道 耦合项
在有外加磁场的情况下，哈密顿量 中要有自旋轨道耦合项，还要计及 轨道磁矩、自旋磁矩分别与外磁场 的相互作用。 但因为相对于轨道与外磁场作用的大小， 可以忽略自旋与外磁场的相互作用项。
1925年，不到25岁的年轻大学生乌伦贝克 和高斯米特提出电子自旋的大胆假设：
认为电子不是点电荷，它除了有轨道运动以外， 还有自旋运动，即每个电子本身都具有固有的 内禀角动量称之为自旋角动量 ，它在空间任 一方向上的投影 只能取两个值：
称
为自旋磁量子数
与自旋角动量 关系为：
每个电子的自旋磁矩
称
自旋角动量 的大小为：
*简并对称性的破除
经典磁矩的定义： 经典角动量的定义：
磁矩与轨道角动量的关系： 角动量空间方向量子化，所以磁矩也是量子化的， 但是这些不同方向的角动量状态对应的能量 En 却是相同的，在无外场时能级简并，只与n有关。 如果加上外磁场，磁矩与外磁场的相互作用将使 各简并的磁量子态能量发生不同的变化，简并态 被消除，出现了能量与磁量子数m有关的状态。
将磁矩与外磁场的相互作用能写 为轨道角动量与磁场的互作用能 轨道角动量与 磁场的互作用能
碱金属原子的哈密顿量为：
可以证明：外加均匀 磁场后，势场的球对 称性被破坏，角动量 不再守恒了，但角动 量的模方 L2 及 Lz仍 然是守恒量。
核及满壳层电子 产生的屏蔽库仑势 因此，仍可选 为守恒量的完全集合。
能 级 和 跃 迁
m
1 0 –1
1s 选择定则：
0
总结：
碱金属原子及在强磁场中的 能量本征值方程
定态薛定谔方程
对应的能量本征值
在库仑屏蔽场中 的能量本征值
轨道磁矩与 磁场的贡献
谱线精细结构 电子自旋
在弱磁场下原子光谱线 具有更复杂的分裂现象， 即谱线分成偶数条，称 为反常塞曼效应。 利用分辨率更高的光谱仪 观测发现，在碱金属中原 来观测到的一条谱线，实 际分裂成两条或更多条， 这现象通常称为光谱的精 细结构。
0– 0 0+ 下面以碱金属来说明： 碱金属的一个价电子处在由原子实形成 的屏蔽库仑场 中，或者说原子核对 最外层电子的作用受到屏蔽。使其能量 较氢原子的能量降低。
设外磁场在Z方向，如图所示。
价电子轨道运动的磁矩与外磁场 的相互作用能为： 因为磁矩和轨道角动量的关系：
所以可以说价电子轨道角动量与外磁场 有相互作用能：
跃迁的选择定则： 所以，自旋磁矩与外磁场的作用，虽然使能级 有所改变，但是对原子光谱中的正常塞曼分裂 并没有影响。
Biblioteka Baidu黄线的正常塞曼分裂
未加磁场 加强磁场
3p
1 0 -1
1 0 -1
0–L 0 0+L
3s
ms=+1/2
ms=–1/2
镉
谱线的正常塞曼效应
无磁场 有磁场 m
2 1 0 –1 –2
此外，在钠原子光谱中有一条最亮的 黄色谱线（D）线是由589.0nm(D1)和 589.6nm (D2) 两条谱线组成。碱土金 属甚至具有三线结构，即使无外磁场 谱线也一分为二或三。显然，谱线的 精细结构不能仅用 n,l,m 三个量子数 描述的态来解释。
结论 仅用原子轨道磁矩是无法解释原子光谱的
多重复杂分裂。除了轨道磁矩之外，原子 内还有另外一种也是分立的磁矩存在。 1925年，不到25岁的年轻大学生乌伦贝克 和高斯米特提出电子自旋的大胆假设：