4、非线性系统的数学模型

4、继电器特性
输出 输入
理想继电器
5、非线性增益
大偏差时，具有较大增益加快系统响应。 小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。
输出
输入
液压控制阀中的 圆形窗口； 阶梯形窗口；
在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
分段斜面；
6、滞环特性
输出 输入
铁磁部件的元件
三、单变量非线性系统的线性化
非线性系统的数学模型
内容提要
➢ 微分方程的线性化的特点 ➢ 非线性系统的概述 ➢ 非线性系统的线性化
复习：试列写图中所示RC无源网络的微分方程。 输入为ui(t)，输出为u0(t) 。
解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：
ui
(t)
R1i1 (t)
1 C1
(i1 (t) i2 (t))dt
1
C1
(i1 (t) i2 (t))dt R2i2
u0
(t)
1 C2
i2 (t)dt
(t
)
1 C2
i2 (t)dt
整理得：：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
பைடு நூலகம்
R2C2
R1C2 )
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得
T1T2
d
2u0 (t) dt 2
(T1
T2
T3 )
du0 (t) dt
u0 (t)
ui
(t)
一、微分方程的线性化的特点
1、线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和
齐次性性质。
第2章 线性系统的数学模型
1、微分方程的线性化的特点
线性系统的齐次性和叠加性：
u
y
H(u)
y=H(u)
齐次性：若系统满足 H(ku)=kH(u) 则称系统 具有齐次性。
非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工 作点附近展开成泰勒级数。
忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性 化方程，来替代原来的非线性函数。
元件的输出与输入
之 间 关 系 x2=f(x1) 的 曲 线 如 图 ， 元件的工作点为(x10，x20)。
将非线性函数x2= f(x1)在工 作 点 ( x10，x20) 附 近 展 开 成 泰 勒 级数
其中 即此时以
工K作点ddxf处1 的x10 切为线工代作替点曲(x线10，，x得20)到处变的量斜在率，工
作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间
就成为线性关系。
叠加性：若系统满足 H(u1+u2)=H(u1)+H(u2) 则称系统具有叠加性。
同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统。
二、非线性系统的概述
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性 性质。
非本质非线性:
能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。
本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
3、间隙特性 输入输出之间具有多值关系
输出
输入
特征： 元件开始运动
输入信号<a时，无输出信号； 当输入信号>a以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2a，输出随输入线性变化。
x2
f (x1)
f
(x10 )
df dx1
x10 (x1 x10 )
1 2!
d2 f dx12
x10 (x1 x10 )2
当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项， 写成
df x2 f (x10 ) dx1 x10 (x1 x10 )
x20 K (x1 x10 )
2、典型非线性特性 （1）饱和特性
输出
y(t)
k
x(t)
输入
kasgn x(t)
x(t) a x(t) a
特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随 输入信号变化而保持恒定。
磁饱和
2、死区特性 （不灵敏区特性）
输出
y(t)
0
kx(t)
a
sgn
x(t)
输入
x(t) a x(t) a