专题二合作博弈PPT课件

（1）n个局中人之间是如何构成联盟的。
（2）各个联盟的支付或收益有多大。
（3）局中人最终在联盟中分配到多少。
§1.稳定集 1、联 盟 设局中人集合N={1,2,…..,n}，N
的任意子集称为联盟。
注 1：空子集 也称为一个联盟。 记所有的联盟构成的集类为B。
对于 SB，用v(S)表示联盟S中的局中
(5,0,0)
(4,1,0) 3,2,0
0,5,0
有些联盟博弈的核可能是空的。满足非空的条 件:
定理：对于n人的联盟博弈，核心非空的充要条 件是线性规划有解：
n
min xi v( N ) i 1
s.t xi v(S ) S N iS
§ 4 联盟博弈的Shapley值 —n人合作博弈的另一个解
§ 2.核心
定义1： n人联盟博弈<N,v>的所有不被优超的 分配构成的集合称为核心，记为c(v)
定理1：分配方案x=(x1,x2,…xn)在核心c(v)中 的充要条件：
n
(1) xi v(N )
i 1
(2)对S B, x(S) xi v(S)
iS
例3：设有三人联盟对策，其特征函数 v{1}= v{2}= v{3}=0, v{1,2}=4, v{2,3}=1, v{1,3}=3,v{1,2,3}=5 由定理1知：这个博弈的核心由下面不等式组
好)
xi v(S)
iS
(2)
（说明分配中给联盟成员
的支付可由联盟付出）
x y
S
则称对联盟, S，I(分v) 配x优于y，记作
。
如果对于 ，能找到一个联 盟T，使 T ，则称 优于 ，记作 > 。
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
注2： <N,v>的全部分配所构成的集合记为I(v)
注3：满足（1）（2）的分配不唯一。
定义2：设有分配x,y I(v) ，及联盟SB ，
如果:(1) 对i S,xi yi (说明分配x比y
人通过合作所得到的支付。因而v(S)可认为 定义在R上，取值于实数的一个函数。
2、联盟博弈 称<N,v>为一个联盟博弈 3、特征函数 称v为该联盟博弈的特征函数，
它满足v( )=0 例1：局中人1（卖主）要把物品卖掉，局中人2
和3（买主）分别出价9元和10元。如果局中 人1将物品卖给局中人2的要价是x元，则局 中人2赢利9-x元。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
例2 设有三个局中人，拟合伙开商店，每月可 赢利200元。要使商店正常营业，起码需要 两人。试问，应采用怎样的方式经营，以及 怎样分配利润才是合理的。
解：特征函数为
v(i)=0, i=1,2,3.
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
注4：稳定集的概念由冯.诺依曼(V.Neumann) 和摩根斯坦(Morgenstern)提出，也成为合作 博弈的V-N-M解。
V({1,2})=9, v({1,3})=10,
v({i})=v({2,3})=0. i=1,2,3,
v({1,2,3})=10 于是建立了联盟博弈<N,v>
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
己见。（1+ ，1- ,）不构成分配。同样，
如果{2，3}结盟，y=（0，1，1）是合理的 分配；{1，3}结盟，z=（1，0，1）是合理 的分配，易知
w={x,y,z}是稳定集
（1 ） x,y,z之间没有优超关系
(2)对于w之外的任何一个分配a=(a1,a2,a3)满足 a1+a2+a3=2 且ai>=0，必被w中某个分配 优超。
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
中人3合伙。如果局中人3也采取类似的要求， 则局中人2不与任何人结盟，余下1与3各持
设<N,v>为一联盟博弈，对于给定的特征函数v
可以确定出特定的分配(v) (1(v),2(v),,n (v))
这里, i (v) w(| s |)[v(s) v(s \ i)],i 1,2,, n { S |is}
w(| s |) (n | s |自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
专题二： 合作博弈
❖ 在非合作的n人博弈中，局中人之间不允许事先 协商和选择策略，不允许他们把策略结合起来，不 允许局中人对得到的支付重新分配。一个局中人不 能分享另一个局中人得到的支付。
❖ 讨论的n人合作博弈，对上述问题都不加限制。 局中人在选择策略时可以协商，并且局中人的支付 可以相互转让。在n人合作博弈中，如何选择自己 的策略已不是主要讨论的问题，n人合作博弈模型 主要讨论下述问题。
确定: x1+x2>=4 x1+x3>=3 x2+x3>=1 x1+x2+x3=5 xi>=0
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核