专题二合作博弈PPT课件
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§ 2.核心
定义1： n人联盟博弈<N,v>的所有不被优超的 分配构成的集合称为核心，记为c(v)
定理1：分配方案x=(x1,x2,…xn)在核心c(v)中 的充要条件：
n
(1) xi v(N )
i 1
(2)对S B, x(S) xi v(S)
iS
例3：设有三人联盟对策，其特征函数 v{1}= v{2}= v{3}=0, v{1,2}=4, v{2,3}=1, v{1,3}=3,v{1,2,3}=5 由定理1知：这个博弈的核心由下面不等式组
确定: x1+x2>=4 x1+x3>=3 x2+x3>=1 x1+x2+x3=5 xi>=0
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
Hale Waihona Puke Baidu边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核
己见。（1+ ，1- ,）不构成分配。同样，
如果{2，3}结盟，y=（0，1，1）是合理的 分配；{1，3}结盟，z=（1，0，1）是合理 的分配，易知
w={x,y,z}是稳定集
（1 ） x,y,z之间没有优超关系
(2)对于w之外的任何一个分配a=(a1,a2,a3)满足 a1+a2+a3=2 且ai>=0，必被w中某个分配 优超。
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
注4：稳定集的概念由冯.诺依曼(V.Neumann) 和摩根斯坦(Morgenstern)提出，也成为合作 博弈的V-N-M解。
V({1,2})=9, v({1,3})=10,
v({i})=v({2,3})=0. i=1,2,3,
v({1,2,3})=10 于是建立了联盟博弈<N,v>
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
(5,0,0)
(4,1,0) 3,2,0
0,5,0
有些联盟博弈的核可能是空的。满足非空的条 件:
定理：对于n人的联盟博弈，核心非空的充要条 件是线性规划有解：
n
min xi v( N ) i 1
s.t xi v(S ) S N iS
§ 4 联盟博弈的Shapley值 —n人合作博弈的另一个解
设<N,v>为一联盟博弈，对于给定的特征函数v
可以确定出特定的分配(v) (1(v),2(v),,n (v))
这里, i (v) w(| s |)[v(s) v(s \ i)],i 1,2,, n { S |is}
w(| s |) (n | s |)!(| s | 1)! n!
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
好)
xi v(S)
iS
(2)
（说明分配中给联盟成员
的支付可由联盟付出）
x y
S
则称对联盟, S，I(分v) 配x优于y，记作
。
如果对于 ，能找到一个联 盟T，使 T ，则称 优于 ，记作 > 。
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
人通过合作所得到的支付。因而v(S)可认为 定义在R上，取值于实数的一个函数。
2、联盟博弈 称<N,v>为一个联盟博弈 3、特征函数 称v为该联盟博弈的特征函数，
它满足v( )=0 例1：局中人1（卖主）要把物品卖掉，局中人2
和3（买主）分别出价9元和10元。如果局中 人1将物品卖给局中人2的要价是x元，则局 中人2赢利9-x元。
例2 设有三个局中人，拟合伙开商店，每月可 赢利200元。要使商店正常营业，起码需要 两人。试问，应采用怎样的方式经营，以及 怎样分配利润才是合理的。
解：特征函数为
v(i)=0, i=1,2,3.
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
（1）n个局中人之间是如何构成联盟的。
（2）各个联盟的支付或收益有多大。
（3）局中人最终在联盟中分配到多少。
§1.稳定集 1、联 盟 设局中人集合N={1,2,…..,n}，N
的任意子集称为联盟。
注 1：空子集 也称为一个联盟。 记所有的联盟构成的集类为B。
对于 SB，用v(S)表示联盟S中的局中
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
注2： <N,v>的全部分配所构成的集合记为I(v)
注3：满足（1）（2）的分配不唯一。
定义2：设有分配x,y I(v) ，及联盟SB ，
如果:(1) 对i S,xi yi (说明分配x比y
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
中人3合伙。如果局中人3也采取类似的要求， 则局中人2不与任何人结盟，余下1与3各持
专题二： 合作博弈
❖ 在非合作的n人博弈中，局中人之间不允许事先 协商和选择策略，不允许他们把策略结合起来，不 允许局中人对得到的支付重新分配。一个局中人不 能分享另一个局中人得到的支付。
❖ 讨论的n人合作博弈，对上述问题都不加限制。 局中人在选择策略时可以协商，并且局中人的支付 可以相互转让。在n人合作博弈中，如何选择自己 的策略已不是主要讨论的问题，n人合作博弈模型 主要讨论下述问题。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
定义1： n人联盟博弈<N,v>的所有不被优超的 分配构成的集合称为核心，记为c(v)
定理1：分配方案x=(x1,x2,…xn)在核心c(v)中 的充要条件：
n
(1) xi v(N )
i 1
(2)对S B, x(S) xi v(S)
iS
例3：设有三人联盟对策，其特征函数 v{1}= v{2}= v{3}=0, v{1,2}=4, v{2,3}=1, v{1,3}=3,v{1,2,3}=5 由定理1知：这个博弈的核心由下面不等式组
确定: x1+x2>=4 x1+x3>=3 x2+x3>=1 x1+x2+x3=5 xi>=0
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
Hale Waihona Puke Baidu边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核
己见。（1+ ，1- ,）不构成分配。同样，
如果{2，3}结盟，y=（0，1，1）是合理的 分配；{1，3}结盟，z=（1，0，1）是合理 的分配，易知
w={x,y,z}是稳定集
（1 ） x,y,z之间没有优超关系
(2)对于w之外的任何一个分配a=(a1,a2,a3)满足 a1+a2+a3=2 且ai>=0，必被w中某个分配 优超。
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
注4：稳定集的概念由冯.诺依曼(V.Neumann) 和摩根斯坦(Morgenstern)提出，也成为合作 博弈的V-N-M解。
V({1,2})=9, v({1,3})=10,
v({i})=v({2,3})=0. i=1,2,3,
v({1,2,3})=10 于是建立了联盟博弈<N,v>
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
(5,0,0)
(4,1,0) 3,2,0
0,5,0
有些联盟博弈的核可能是空的。满足非空的条 件:
定理：对于n人的联盟博弈，核心非空的充要条 件是线性规划有解：
n
min xi v( N ) i 1
s.t xi v(S ) S N iS
§ 4 联盟博弈的Shapley值 —n人合作博弈的另一个解
设<N,v>为一联盟博弈，对于给定的特征函数v
可以确定出特定的分配(v) (1(v),2(v),,n (v))
这里, i (v) w(| s |)[v(s) v(s \ i)],i 1,2,, n { S |is}
w(| s |) (n | s |)!(| s | 1)! n!
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
好)
xi v(S)
iS
(2)
（说明分配中给联盟成员
的支付可由联盟付出）
x y
S
则称对联盟, S，I(分v) 配x优于y，记作
。
如果对于 ，能找到一个联 盟T，使 T ，则称 优于 ，记作 > 。
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
人通过合作所得到的支付。因而v(S)可认为 定义在R上，取值于实数的一个函数。
2、联盟博弈 称<N,v>为一个联盟博弈 3、特征函数 称v为该联盟博弈的特征函数，
它满足v( )=0 例1：局中人1（卖主）要把物品卖掉，局中人2
和3（买主）分别出价9元和10元。如果局中 人1将物品卖给局中人2的要价是x元，则局 中人2赢利9-x元。
例2 设有三个局中人，拟合伙开商店，每月可 赢利200元。要使商店正常营业，起码需要 两人。试问，应采用怎样的方式经营，以及 怎样分配利润才是合理的。
解：特征函数为
v(i)=0, i=1,2,3.
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
（1）n个局中人之间是如何构成联盟的。
（2）各个联盟的支付或收益有多大。
（3）局中人最终在联盟中分配到多少。
§1.稳定集 1、联 盟 设局中人集合N={1,2,…..,n}，N
的任意子集称为联盟。
注 1：空子集 也称为一个联盟。 记所有的联盟构成的集类为B。
对于 SB，用v(S)表示联盟S中的局中
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
注2： <N,v>的全部分配所构成的集合记为I(v)
注3：满足（1）（2）的分配不唯一。
定义2：设有分配x,y I(v) ，及联盟SB ，
如果:(1) 对i S,xi yi (说明分配x比y
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
中人3合伙。如果局中人3也采取类似的要求， 则局中人2不与任何人结盟，余下1与3各持
专题二： 合作博弈
❖ 在非合作的n人博弈中，局中人之间不允许事先 协商和选择策略，不允许他们把策略结合起来，不 允许局中人对得到的支付重新分配。一个局中人不 能分享另一个局中人得到的支付。
❖ 讨论的n人合作博弈，对上述问题都不加限制。 局中人在选择策略时可以协商，并且局中人的支付 可以相互转让。在n人合作博弈中，如何选择自己 的策略已不是主要讨论的问题，n人合作博弈模型 主要讨论下述问题。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日