张量及应用

特别地，
, ik kj
ij
ik kj jm im
例3： Am i Bn j , 34 81 个数， 求 m n项的和。
m nA m iB njA n iB njA m iB m j
1.3 置换符号
1,
e i jk
1
,
0 ,
i, j, k, 为1，2，3的偶排列 i, j, k, 为1，2，3的奇排列 i, j, k, 不是1，2，3的排列
Cij AikBjk
表示9个方程：
i ，j为自由指标，k 为哑标
C 1 1 A 1 B 1 k k A 1 B 1 1 1 A 1 B 1 2 2 A 1 B 1 33 C 1 2 A 1 B 2 k k A 1 B 2 1 1 A 1 B 2 2 2 A 1 B 2 33 C 1 3 A 1 B 3 k k A 1 B 3 1 1 A 1 B 3 2 2 A 1 B 3 33 C 2 1 A 2 B 1 k k A 2 B 1 1 1 A 2 B 1 2 2 A 2 B 1 33
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是 or or
Saixi ajxjakxk
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 a ibi xi i1
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题
a ixia 1x 1a 2x2a 3x3 bjjb11b22b33
写出其指标记法
1.5 张量的定义
1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系） 旧坐标系： Ox1x2x3 单位基矢量： {e1, e2, e3}
新坐标系： Ox1x2x3 单位基矢量：{e1, e2, e3}
新旧基矢量夹角的方向余弦：
e ie j |e i||e j|ce o i,e j) sc (e o i,e j) sij (
设T为二阶张量， 为一标量，它
们的乘积记为 T，则
TT
仍为二阶张量。
因为根据坐标变换，有
T T ij
ii jj ij
其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， i j 可确
定一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
若 e1, e2, e3 是相互垂直的单位矢量，则
ei ej ij ，但
e ie i e 1e 1 e 2e 2 e 3e 3 3
而 ii1 1 22 33 3，故
换系数）
ai ii ai
T T ij
ii jj ij
对于直角坐标系 Ox1x2x3 ，有九个量[ T i j ] 按照关系
T T ij
ii jj ij
变换成 Ox1x2x3 中的九个量 [T i j ]
则此九个量定义一个二阶张量。
1.6 张量的分量
设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量， a为任一矢量，其分量为ai，于是
Ain
A11 A12
Ajn eijkelmn A21 A22
Akn
A31 A32
A13 A23 A33
指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零
令 Ai j i j
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (,1,2)
aaiei a iaeieia
对于一个二阶张量T，它可以将a变换成 另一个矢量b，即
令 Tij eiTej 称为二阶张量T的分量
Tij eiTej
可理解为矢量T·ej在ei上的分量，即 Tej Tijei
因此，有下面三种等价的表达式：
bTa
bi ajTij Tijaj
bbb132TTT132111
哑标与求和无 关，可用任意 字母代替
为平均应力应变之间的关系
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程：
其普通记法
U i 0 xi
U1U2 U3 0 x1 x2 x3
或
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
……
C 3 3 A 3 B 3 k k A 3 B 3 1 1 A 3 B 3 2 2 A 3 B 3 33
例外：
R1 C1E1
R2 C2E2
Ri CiEi CiEi
R3 C3E3
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
cm em c1 e1c2 e2c3 e3
双重求和
33
S
ai jxi xj
i1 j1
简写成
S aijxixj
展开式（9项）
Sa11x1x1a12x1x2 a13x1x3
a21x2x1a22x2x2 a23x2x3
a31x1x1a32x1x2 a33x1x3
333
三重求和（27项） S
aijkxixjxkaijkxixjxk
张量分析及其应用
第一章 张量代数 第二章 张量分析 第三章 张量应用
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
Sa1x1a2x2 anxn
n
n
n
aixi ajxj akxk
i1
j1
k1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
1.5.3 矢量（Vector）
ai ii ai
ai ii ai
ai ii ikak
哑标换成 k
ikak ii ikak
比较上式两边，得
ik ii ik 即该变换是正交的
1.5.4 张量（Tensor）
将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变
T12 T22 T32
TTT132333aaa132
其中
T11 T12 T13
T21
T22
T23
T31 T32 T33
称为在基矢量组{e1, e2, e3}下二阶 张量 T 的矩阵。
注意：矢量 a、b 及张量T本身与 坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组{e1, e2, e3}与坐标系 相关。
1.7.1 张量的加法和减法
设T、S均为二阶张量，将它们 的和、差用下式表示：
TS 仍为二阶张量。
若a为一矢量，则
( T S )a T a S a 其分量为：
(TS)ij ei (TS)ej ei Tej ei Sej Tij Sij
其矩阵形式为： [T S ] [T ] [S ]
1.7.2 张量和标量的乘积
1.5.1 坐标系的变换关系
ijcoei,sej()eiej
旧 新
e 1
e 2
e 3
e1
11
21 31
e2
12 22
32
e2
13 23 33
图解（二维）：
在解析式中记：
e 1 1 '1 e 11 '2 e21 'jej,
1' j
j
1,
cos 2
1'
j
1.5.1 坐标系的变换关系
e1 11 12 13e1
e2 e3
3211
22 31
3233ee32
ei iiei （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
在坐标变换时其值保持不变，即满足
(x 1 ,x 2 ,x 3 )(x 1 ,x 2 ,x 3 )
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
ei ei ii
注意： i i 是一个数值，即 ii 3
i j 的作用：1）换指标；2）选择求和。
例1： Ai Ak
kiAi kkAkAk
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2： Tkj Ti j
ikTkj iiTij Tij
i1 j1k1
1.1.2 自由指标
例如
xi aijxj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程：
TxxxTyxyTzxzbx 0 TxyxTyyyTzyzby 0 TxzxTyzyTzzzbz 0
例如： e12 3e23 1e31 21 e321e21 3e13 21 e 11 e 12 e 1 23 2 0
可见：
e ijk e jk i e k ij e jik e ik j e k ji
e i j k 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2, e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
ni ij nj
所以
Tijnj ijnj0
即
(Tijij)nj0
1.4 指标记法的运算
1.4.4 缩并
使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系
T ijE kkij2E ij
缩并 T ii E k kii 2 E ii 3 E k k 2 E ii
Tii(32)E ii
bi Vimcm
m
bm Vmncn
n or else
1.4.2 乘积 设
则
1.4 指标记法的运算
不符合 求和约
定
p Umam q Vmbm
pqUmamVmbm
pqUmamVnbn
1.4 指标记法的运算
1.4.3 因式分解
考虑 Tijnjni 0
第一步用 n j 表示 n i , i j 有换指标的作用
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
又如，方程
1 2 2 2 3 2 11 1 22 2 33 3
用指标Fra Baidu bibliotek表示，可写成
i ii i ii i ii i i
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
ij
1, 0,
ij i j
二维关键公式： ee
e e
2
e e 2 2
ee 2 2 4 4
422
1.4 指标记法的运算
3个方程， 右边为9 项之和
1.4.1 代入
设
ai Uimbm
bi Vimcm
把（2） 代入（1）
(1)
ai UimVmncn
(2)
从三维退化得到
eeij3e3
其中
e11e220, e12e211
有下列恒等式
ee
ee, ee22!
关键公式：
il im in ei e jk lmn jl jm jn
kl km kn
il eij3elm3 jl
3l
im jm 3m
i3 il j3 jl 33 0
im 0 jm 0
01
ee
则
ei ej eijkek
常见的恒等式
il im in ( i ) ei e jk lmn jl jm jn
kl km kn
( ii ) eijkelm kil jm imjl
( iii ) eijkeljk 2 il
( iv ) eijkeijk 63!
证明：
Ail Ajl
Akl
Aim Ajm Akm
1.5.3 矢量（Vector）
满足以下变换
关系的三个量 定义一个矢量
{a
i
}
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i