高三数学专题复习课件专题-数列复习课件

一、知识回顾
等差数列
等比数列
定义 通项 通项推广
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
an1 an q
an a1q n1
an amqnm
中项 性质
求和 公式
an、Sn
关系式
A (a b) 2
G2 ab
an am ap aq m+n=p+q an am ap aq m n p q an am 2ap m+n 2 p an am ap2 m n 2 p
1 2n2
( 3n
2)
1 2n1
错位相 减法
1 2
Sn
1
1 21
4
1 22
7
1 23
( 3n
5)
1 2n1
(3n 2) 1 2n
两式相减：
1 2
Sn
1 3
1 21
3
1 22
3
1 2n1
(3n 2)
1 2n
13
1 2
(1
1 2n1
)
1 1
3n 2 2n
2
3 3n 2
6 6n 4
设这三个数为，a , a, aq 则 a a aq 8 即：a3 8 a 2
q
q
（1）若 2是 2 ,2q 的等差中项，则 2 2q 4 即：q2 2q 1 0
q
q
q 1 与已知三数不等矛盾
（2）若 2q为 2, 2 的等差中项，则 1 1 2q 即：2q2 q 1 0
A.7 B.8 C.9 D.10
三、基础练习
6.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为 d的取值范围
7.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通 项公式
考题剖析
例5、（2008北京）数列{an}满足a1 1, an1 (n2 n )an (n 1, 2,ggg), 是常数. （Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值； （Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不 可能，说明理由；
Sk , S2k Sk , S3k S2k仍成等差 d k 2d Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等比 q qk
Sn
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1)d 2
Sn
a1
(1
q
n
)
1q
a1 anq 1 q
na1
q 1 q 1
an SSn1 Sn1
n2 n 1
适用所有数列
项的差是常数。
解：（Ⅰ）由于 an1 (n2 n )an (n 1, 2,),且a1=1， 所以当a2=-1时，得, 1 2 故 3. 从而 a3 (22 2 3) (1) 3.
（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下： 由a1=1，an1 (n2 n )an 得 a2 2 , a3 (6 )(2 ), a4 (12 )(6 )(2 ). 若存在λ ，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即 (5 )(2 ) 1 ， 解得λ =3. 于是 a2 a1 1 2, a4 a3 (11 )(6 )(2 ) 24. 这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意λ ，{an}都不可能是等差数列. ［点评］证明一个数列是等差数列，须证明这个数列的第n项与第n－1
1 an 3n 2 bn 2n1
cn
an
bn
(3n
2)
1 2n1
通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得
求和方法： 错位相减法——错项法
cn
an
bn
(3n
2)
1 2n1
解析：
Sn c1 c2 c3 cn
111 Sn 1 20 4 21 7 22
( 3n
5)
Sn 2(4 2n1 2n ) 8 2n1 2n
三、基础练习
1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（ ）,38的特点,在 括号内适当的一个数是__3_1___
2.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=__9___
3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则
1 2
an a1
12 (12 1) d
(n 1)( a1 ) 10
来自百度文库
a1
11 n 10
由于 a1 0
易知 a10 0 a11 0 a12 0
∴n取10或11时Sn取最小值
例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn
析：设这三个数为 x d, x, x d
则
(x d) x (x d) 15 (x d)2 x2 (x d)2 83
解得x＝5，d＝ ±2.
∴所求三个数分别为3，5，7 或7，5，3.
例1(2)：互不相等的三个数之积为 8 ，这三个数适当排列后可
成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时,
aann100 Sn是最小值
２．当a1＞0,d＜0时, 思路1：寻求通项
aann100 Sn是最大值
即：3a1
9a1
30d
1 9 (9 1) d
2
d
1 10
a1
12a1
考题剖析
(2008重庆文)已知{an}为等差数列， a2+a8=12，,则a5等于 （）
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5， 所以，a5＝6，选（C）。
［点评］本题直接利用等差数列的性质，由等差中项 可得，属容易题。
Ⅲ、等差数列的最值问题
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
10dn
1 2
n(n 1)d
1 dn2 21 dn d (n 21)2 212 d
2
2
22 8
∵d>0, ∴Sn有最小值.
又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?
分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一
群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤 立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.
思路3：函数图像、数形结合
令 Sn An2 Bn 过原点抛物线
又S1=a1<0, 故开口向上 所以Sn有最小值 因为S9=S12, 所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, ∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小
数学必修⑤《数列》 总结复习
试题特点
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基 础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考 察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和 难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的 难题。大多数是一道填空题，一道解答题。解答题多为中 等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题 的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对 数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热 点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列 的知识。
＝1 ，a2b2＝2，a3 b3 =
7 4
．
(1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式；
(2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn
解析：
设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn}
的公比为 q ，则由题意得
(1 d)q 2 (1 2d )q2
7 4
(1) (2)
d 3, q 1 2
2a10-a12的值为
（ C）
A.20 B.22
C.24 D.28
4.若｛an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那
么a3+a5的值等于
（ A）
A.5
B.1
C.15 D.10
5.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则
a17+a18+a19+a20的值等于
( C)
例2（1）已知等差数列{an} 满足 a1 a2 a101 0 ，则 ( C )
A. a1 a101 0 B. a2 a100 0 C. a3 a99 0 D. a51 51
（2）已知等差数列{an}前 m 项和为30，前 2m 项和为100，
则前 项和3m为
( )C
A. 130
是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:
9a1
1 2
9 (9
1)
d
12a1
1 2
12 (12
1) d
即： 3a1 30d a1 10d ∵a1<0, ∴ d>0,
Sn
10.5
o
n
n=
b 2a
类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象
的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5
若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2
Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用
例4 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
（3）若 2 为 2q,2 的等差中项，则 q 1 2 即：q2 q 2 0
q
q
q 2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
综上：这三数排成的等差数列为: 4 , 1, 2 或 2, 1, 4
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
二、知识应用
Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为 a, a d, a 2d; a d, a, a d
或者 x, x y , y，根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
2
a
2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 , a, aq，也可以设为
a, aq, aq2.
q
例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83， 求此三个数.
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
析： a1 a2 a3 a4 21
an an1 an2 an3 67
Sn
n(a1 2
an
)
286
a1
an
21 67 4
22
n 26