矩阵及其秩在高等代数中的应用

论文提要

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用.高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程.在高等代数中,应用最广泛的表示方法是用矩阵来表示.因此,矩阵在高等代数中的应用就显得极其重要。对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规范正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的内积的表示.

这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述.

矩阵及其秩在高等代数中的应用

摘 要 ：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系.通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解.

关键词：矩阵 秩 变换 可逆

1 矩阵的基本理论

定义1.1 矩阵是一张简化了的表格,一般地

111212122212

n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭

称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列,共n m ⨯个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表

示.通常我们用大写黑体字母,,A B C

表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可

用m n A ⨯或()

ij m n

a ⨯表示.矩阵既然是一张表,就不能像行列式那样算出一个数来.

定义1.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0.

定义1.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义1.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得,

AB BA I ==

那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1

A -来表示. 定义1.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即

1000100

1I ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,

y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11⨯矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =.

定义1.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为T

A ,即

1112121

22

212

n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭ ,11

21

112

22212m m T

n

n

mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵.

定义1.7 n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A .

定义1.8 设有n 阶方阵

1112

12122212

n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的行列式A 有2

n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵

1121

11222212n n n

n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称A *为矩阵A 的伴随矩阵

定义1.9 利用线性方程组的系数和常数项可以排成此表

1112

1121222212

3n n

m m m mn

m a a a b a a a b a

a a a

b ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

则此表称为线性方程组的增广矩阵.

定义1.10 在一个s 行t 列矩阵中,任取k 行k 列(,)k s k t ≤≤.位于这些行列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式.

定义 1.11 向量组12{,,}n ααα的一个部分向量组12{,,}i i ir ααα叫作一个极大线

性无关部分组(简称极大无关组)

()i 12,,,i i ir ααα线性无关；

()ii 每一,1,,,j j n α=都可以由12,,,i i ir ααα,线性表示. 定义1.12 设F 是一个数域,F 上n 元二次齐次多项式

222

12111222121213131,1(,,,)222n nn n n n n n q x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++

叫作F 上一个n 元二次型.

定义1.13 R 上一个n 元二次型12(,,,)n q x x x 可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数.如果对于变量12,,,n x x x 的每一组不全为零的值,函数值12(,,,)n q x x x 都是正数,那么就称12(,,,)n q x x x 是一个正定二次型.

2 秩的基本理论

定义 2.1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个这个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩为零.

性质

（1） ()0r A =,当且仅当A 是零矩阵.