大学物理《功和能》课件

这两个力的元功之和为：
r 2 d A f 12 d r1 f 21 d r2 f 12 d r1 f 12 d r2 f 12 dd r1 d2r) ) (( 12
dr1 d (r1 r2 ) 表示m1相对于m2的相对位移； 表示m2相对于m1的相对位移。 dr2 d(r2 r1 ) 与参照系的选取无关 d A f 12 d r1 f 21 d r2
O
r0
Ep
r
r 的函数——势能函数
重力势能是在地球
表面小区域内的引力势能：
Ep m m GM
E
Gm1m2 r
h
Ep 0
m
RE h GM

GM
E
m
RE
E
Ep
Ep mgh
RE
RE >> h
RE (RE h) GM RE
2 E
h
h
O
h mgh
§4.4 引力势能与弹性势能
2
1 2
x
kx
2
kl0 mg
§4.4 引力势能与弹性势能
§4.5 由势能求保守力
How to Find a Conservative Force from Potential Energy
保守力及其势能都是空间分布的函数（力场，势函数） 保守力
积分 微分
势能
f
A f r fl r Ep
E kB E kA ( E pB E pA )
( E kB E pB ) ( E kA E pA )
(Ek Ep )B (Ek Ep ) A
引入机械能： E Ek Ep
Aex Ain,n -cons E
质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和 等于机械能的增量。
第4章 功和能
本章主要内容
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7 §4.8 功 动能定理 保守力与势能 引力势能和弹性势能 由势能求保守力 机械能守恒定律 守恒定律的意义 碰撞
第4章 功和能
§4.1 功
Work
1.功的定义
功——力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )

Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r

Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
3.功率
功率的定义：单位时间内所做的功。即
P lim A t
t 0

dA dt
§4.1 功
4.一对力的功
设两个质点m1和m2之间的相互作 用力为：
dr1
m1
f f12 21
dr2
m2
f 12 ——质点1受质点2的作用力； f 21 ——质点2受质点1的作用力。
设质点受力为 位移元 d r ，则该力做功 d A表示为
d A F t d r F d r cos
F ，它的空间位置发生一无限小的位移——
dA F dr
元功
注意：功是一个标量。 有正有负： 当 0 90 时，dA 0 ； 当 90 180时， A 0。 d 质点沿曲线 L 从 A 到 B ，整个路径上的 功为元功之和：
B A
即
状态量
1 2 mv
2
在B点的取值
状态量
1 2
mv
2
在A点的取值
动能定理：合外力对质点
所做的功等于质点动能的增量。 功是能量传递或转化的量度。
引入动能 Ek：
Ek
1 2
mv
2
p
2
2m
§4.2 动能定理
2.质点系的动能定理
考虑两个质点构成的质点系： 对m1质点： 对m2质点： 相加，得
A
dr
A
L B F

L
B A
F dr
线积分
§4.1 功
2.合力的功
如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力 的功：
A

B A
F dr
A F i d r i
B

i
B A
Fi d r

i
Ai
fll Ep
fl
Ep l
E p l
取极限得方向导数：
fl
E p fx x E p fy y E p fz z
§4.5 由势能求保守力

l
n
r
E pE p E p
r l
A
L A L B
L
L
B

L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A

1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
1.引力势能与弹性势能
引力势能： E p
Gm 1 m 2 r
弹性势能： E p
1 2
ks
2
实际上只能定义势能的减少量（或增加量），势能的数 值无意义——势能零点具有相对意义。 A保 Ep
Ep Gm 1 m 2 r C Ep 1 2
p
ks
2
C
0 ， 0 C
B
B A
A
A引
Gm 1 m 2 rB

Gm 1 m 2 rA
结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于 质点初、终态的相对位置。
§4.3 保守力与势能
（2）弹簧的弹性力做功
考虑一劲度系数为k 的弹簧系着 一质点 m，弹簧一端固定于O点，弹 性力 f 的功：
A弹
rB
B
f

B A B
即
A ex Ain E k B E k A
可推广到多质点的质点系。
定理：质点系外力功和内力功的总和等于总动能的增量。
§4.2 动能定理
§4.3 保守力与势能
Conservative Forces and Potentiel Energy
1.保守力与非保守力
（1）万有引力做功
考虑质点系中的两个质点m1和m2之 间的万有引力——一对力的功：
§4.6 机械能守恒定律
Aex Ain,n -cons E
如果 Aex Ain,n -cons 0 ，则 E 常量。 质点系的机械能保持不变。 说明： 机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系 中适用。 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动 中的特例。
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r

保守力 非保守力
Ain Ain, cons Ain, n - cons
A ex Ain, cons Ain, n - cons E k B E k A
A ex Ain, n - cons E k B E k A Ain, cons
A in, cons ( E p B E p A )
坐标方向上的方向 导数——偏导数
E p E p E p f f xi f y j f zk i j k x y z i x j y k z E p E p 保守力等于相联系的势能的梯度的负值，即 f E p
§4.1 功
§4-2 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
1.质点的动能定理
力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？ 考虑合力的功： B A F dr
过程量
A B dv v A Ft d r m A d t d r m v v d v 1 1 2 2 A mv B mv A A E kB E kA 2 2 B
弹性势能曲线
l0
l
Ep
Ep
Ep
1 2
ks
2
2
s
( x s l l0 ) x
x
1
ks
1 2
O
弹性势能曲线为抛物线， 存在极小值。势能极小值点是 稳定的平衡点。
[例] 讨论悬挂弹簧的势能。 设平衡点处 E 0 p
s0 O
s2
k s0
2
s0
l 0
自然长
O
x
平衡点
1 1 2 2 E p k ( x l 0 ) k ( l 0 ) mgx 2 2 1 2 kx k l 0 x mgx


B A
( F1 f 12 ) d r1 E k 1 , B E k 1 , A
dr1
m1
f f12 21
m2
dr2
B A
( F 2 f 21 ) d r2 E k 2 , B E k 2 , A BB F1 d r11 F 22 dd r2 r F r2
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
A引
m1
B
f12
r B f 21 m2 r2

B A
f 21 d r2
B A

Gm 1 m 2 r2
3
Baidu Nhomakorabea
rA Gm 1 m 2 A r 3 r2 d r2 2 r Gm m 1 2 r2 d r2 d r2 2 r r2
2 A

1 2
ks B
2
做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终
态的相对位置，具有这种性质的力称为保守力。 反之，做 功与相对路径有关的力称为非保守力。 与之等价的另一种定义： 一质点相对另一质点沿闭合路径运动一周，它们的相互 作用力做功为零，则该力就是保守力。
ALB LA

B A f dr f dr f dr
梯度算符“grad”： i j k x y z
§4.5 由势能求保守力
§4.6 机械能守恒定律
Law of Conservation of Mechanical Energy
考虑质点系的动能定理： A ex Ain E k B E k A 内力
B A
m r A
2 2 结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定
§4.3 保守力与势能
A弹
1
ks
2 A

1
ks B
2
s r r0 为弹簧的伸长量
于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）。
（3）保守力和非保守力
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
A弹
s 1 2 B ks 2 sA
Ep
Gm 1 m 2 r
A保 E p
Ep
1 2
ks
2
引入势能的概念：保守力做功等于势能的减少量。 说明： 势能是与质点系内质点的相对位置相关的能量。
§4.3 保守力与势能
§4.4 引力势能和弹性势能
Gravitational Potential Energy and Elastic Potential Energy
A A

B B
A A

B
A
f 12 d r11

B A
f 21 d r2
( E k 1, B E k 2 , B ) ( E k 1, A E k 2 , A )
( E k 1 E k 2 ) B ( E k 1 E k 2 ) A E kB E kA