大学物理 第八讲 洛伦兹变换
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小
u
x
小
x
x1t1
x2 t 2
根据 洛仑兹变换
u u t 2 t1 (t 2 2 x 2 ) (t1 2 x1 ) Δt c c u x 2 x1 (t 2 t1 ) 1 2 . c t 2 t1
t’ = （ t - u x /c2） 由洛仑兹变换， x’= （ x - u t）= x 得 x = x’/ (动长与静长关系)
所以 t’ = - u x’/ ( c2) = - u x’/ c2 = -100×103×0.5×103/3600×(3×108)2 = - 1.54×10 -13 s
时间膨胀,或钟慢效应:
u2 Δ t Δ t 1
（原时）(两地时）
c2
原时最短用钟走的快慢来说:观察者把 相对于他运动的钟和自己的一系列静止的 钟对比,发现那只运动的钟慢了。 运动长度收缩效应: S系中的测量者必须同时去测量运动棒的 两个端点的坐标。
(动长) (静长)
u2 l l 1 c2
dx x x ut ( 1 ) u d x d x dt y y ( 2 ) dt vx u d x z z ( 3 ) d t d t d t 1 2 c d t t t u2 x ( 4 ) c v x u （记） 所以 vx uv x 1 c2 vy 同理可得 v y uv x 这就是相对论 1 2 速度变换。 c vz vz 注意：vx’, vy’,vz’ 都是 uv x 与 u、v 有关的。 1 2 x c
S’系中定量计算： S’
u 列车
S x2t2
x1t1
x
B 隧道 A
b
a
x’
设：
隧道 x’2t’2 x’1t’1
S系 S’系 事件1（aA相遇） （ x1t1 ）（ x’1t’1）
事件2（B端打闪） （ x2t2 ）（ x’2t’2 ） 按题意 Δ t t 2 t1 0
Δ x x2 x1 10m
这是从S系的时空向S’系的时空变换的式子。
从S’系的时空向S系的时空变换的式子： （只须将带’ 不带’ ；u -u）
x x ut y y z z u t t 2 x c
这称为洛仑兹 逆变换。
……………（1）
……………（2） ……………（3）
由于这两个事件无因果关系，虽然 t2 - t1 > 0 但是, x1、x2 是可以取各种数值的, 对于 x2-x1的不同情况来说， t’(完全可以) 0；0；0 。 即两事件的时序完全可能颠倒。
但是,若小A，小B是一母所生,
而且母亲是位旅行家,在 x1、t1 生了小A, 在 x2、t2 生了小B。
l隧 l隧 静 1 u 2 / c 2 10 1 ( 3c / 2) / c 5 m l 车 静 (20 m)
2 2
b 露在外面 15 m , 闪电会留下痕迹。 （？） 思考：怎么结论不一样？问题出在哪里？
列车
b
B
隧道 A
a 隧道 u
由于地面系看,列车a 端与隧道A 端相遇与闪电 正击中隧道的 B 端是同时的， 但在 列车系中看就不是同时的了: a，A相遇的事件先发生 B 处打闪的事件后发生（想一想。） B处打闪时列车的 b 端可能已经进入隧道了。 下面来定量计算，检验一下：
u x 2 x1 Δ t (t 2 t1 ) 1 2 . c t 2 t1 u (t 2 t1 ).(1 2 .v x ) c
由于 v x c ,而 u < c ,
若 t2 > t1 , 则 必有 t 2 t1 .
u 所以 1 2 v x 0 c
……………（4）
说明：
1. 当 u<< c时， 伽利略变换。 1 ,洛仑兹变换过渡到
满足“对应原理” 这时可以认为时间不延缓,长度也不缩短。 2. 当 u c 时，洛仑兹变换无意义， 即两个物体之间的相对速度不能超过c。 c 为一切物体（参考系）的极限速率。 3. 时间和空间都与运动有关。
时间和空间紧密相连，两者构成统一的 四维时空。
x
x ut 1 u
2
…（1）
c2 y’= y ……………（2）
z’= z ……………（3） 在S’ 系看： S系也在运动（-u）， x长度也有缩短效应: 将（1）式 可得 x，代入上式，
x x的运动长度 ut
x 1 u
2
c
2
ut
u t 2 x c t 2 1 u 2 c
隧道
列车
b
B
隧道 A
a 隧道 u
【解】设地面为 S 系，列车为 S’ 系， 在地面系S中看：列车的长度要缩短为
l车 l车静
u2 ( 3c / 2) 2 1 2 20 1 10 m 2 c c
a与 A相遇时，b 恰好进入隧道， 闪电不会留下痕迹。
列车
b
B
隧道 A
a 隧道 u
在列车系S’中看：隧道的长度也要缩短
…（4）
这（1）（4）式，称为洛仑兹（坐标）变换。
通常令
1 u2 1 c2
它大于1
u c
洛仑兹变换可以简写成 x x ut (1) y y ( 2)
z z ( 3) （记！） t t x ( 4) c
事件2（击中车头）:（x2 , t2）,（ x , t 2） 2
u
按题意,已知 x’ = x2’-x1’ = 0.5 km t1 ) t2 ) ( x1 ( x2 x t = t2 - t1 =0 x u = 100 km/h ( x1t1 ) ( x2 t 2 ) 由洛仑兹变换， t’ = t’2- t’1=（ t - u x /c2） ？
相对论速度逆变换： 将带’不带’ , 将 u - u
v u vx x uv x 1 2 c v y vy uv x 1 2 c
注意1：当Δ t 0, Δ x 0 时，得Δ t 0.
按题意,已知 x’ = x2’-x1’ = 0.5 km t = t2 - t1 =0 u = 100 km/h
负号表示 t2’小,即车头先打闪，与重要规律一致。
也同时！ 注意2：在例1中， x 与 x’ 不是静长与动长关系。
例3 . 一列车以恒定速度 u 3c / 2 通过隧道， 列车的静长为20m，隧道的静长为10m。 从地面上看，当列车的前端 a 到达隧道 A端的 同时，有一个闪电正击中隧道的 B 端。 试问：（1）从地面参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？ （2）从列车参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？ 列车 b B 隧道 A a u
即对这种情况,在飞船上看也是小A先出生， 两事件的时序没有颠倒。
洛仑兹变换应用举例: 例1.已知S’系相对S系以 u = 0.6c 运动，有两个 无关事件，在S 系中测量； x1 = 0, t1=0； x2 = 3000 m, t2=410-6 s 。
求：在S’系中测量它们 的相应时空坐标。
y
y
这时时序就不应颠倒了！
u x2 x1 Δ t (t 2 t1 ) 1 2 . c t 2 t1
我们将上式中的
x 2 x1 记作 vx , t 2 t1
这时，它是有物理意义的： -------母亲旅行的平均速度。
在开炮---击中目标问题中，这是炮弹的飞行速度。 一般来说，这是信号（物质、能量）传播的速度。
题意 t1 = 0, t2 >0 而得 t1 0, t 2 0 说明在 S’系中，这两无关事件 的时间顺序发生了颠倒。
例2.已知:火车静长为 0.5 km,速度为 100 km/h, 地面观察者看到两个闪同时击中火车的头尾, 求:火车上的观察者看到这两个闪的时间差。 【解】事件1（击中车尾）:（x1 ,t1）,（ x , t 2） 2
7.3.3 洛仑兹变换
研究： 爱因斯坦时空观
新的时空变换关系
在S系看: S’系在运动, x’长度有缩短效应
y
Fra Baidu bibliotek
y
S ut
0
S
u
x ut x的运动长度
2
0
z
z
P ( x, y, z , t ) ut x 1 u c 2 ( x , y, z , t ) x ut x x x u2 2 1 c
在这段时间差内，隧道的B 端相对于列车 b 端向左移动了一端距离：
3c 10 3 Δ S u Δ t 15 m 2 c
前面隧道长度缩短，b 端露在外面的长度为15m, 在列车上看，由于时间差，b 端也正好进入隧道， B 处打闪也没有在 b 端留下痕迹，结论相同！
二、相对论速度变换
u2 ( 3c / 2)2 1/ 1 2 1/ 1 2 2 c c
由洛仑兹变换,计算两事件的时间差， u Δ t t 2 t1 (Δ t 2 Δ x ) c
10 3 3c / 2 2 0 ( 10) 2 c c
1.25(3000 0.6c 4 10 ) 2850m
2
6
x1 = 0, t1=0； x2 = 3000 m, t2=410-6 s u = 0.6c
t1 ( t1 ux1 / c ) 0 2 6 t 2 (t 2 ux2 / c ) 2.5 10 s
洛仑兹变换符合因果时序。
例. 事件P1: 张家生了个小A 事件P2: 李家生了个小B
在S系，S’ 系中的时空坐标为: S: p1 ( x1，t1 ) p2 ( x2，t 2 ) S : p1 ( x1，t1 ) p2 ( x，t 2 ) 2
若在地面S系看, 张家小A先出生， t2 - t1 > 0。 在飞船S’系看, 必然也是张家 小A先出生吗？
复习 在某惯性系，在某地发生的事件, 应该用该惯性系中该地的钟来计时！
重要规律:(针对车箱两端打闪的例子) 沿着两个惯性系相对运动方向发 生的两个事件,若在甲惯性系中看是同 时发生的；则在乙惯性系中看就不是 同时发生的,而是在甲惯性系运动的后 方的 那个事件先发生。 沿垂直于相对运动方向发生的 两个事件，不具有同时的相对性。
S ut
0
S
u
【解】
1 u 1 2 c 1
2
P ( x, y, z , t ) ( x , y, z , t )
0
x
x
z
z
(0.6c )2 1 2 c 1.25
代入洛仑兹变换式，得
x1 ( x1 ut1 ) 0 x ( x2 ut 2 ) 2
dx 在S系中： v x d t x , y, z d x vx x , y ,z 在S’系中： d t
速度的变换关系，完全可以由洛仑兹 坐标变换导出 x x ut ( 1 ) dx u d x y y ( 2 ) dt d x dt vx z z ( 3 ) u dx d t d t d t 1 2 t t u x ( 4 ) c dt c2
u
x
小
x
x1t1
x2 t 2
根据 洛仑兹变换
u u t 2 t1 (t 2 2 x 2 ) (t1 2 x1 ) Δt c c u x 2 x1 (t 2 t1 ) 1 2 . c t 2 t1
t’ = （ t - u x /c2） 由洛仑兹变换， x’= （ x - u t）= x 得 x = x’/ (动长与静长关系)
所以 t’ = - u x’/ ( c2) = - u x’/ c2 = -100×103×0.5×103/3600×(3×108)2 = - 1.54×10 -13 s
时间膨胀,或钟慢效应:
u2 Δ t Δ t 1
（原时）(两地时）
c2
原时最短用钟走的快慢来说:观察者把 相对于他运动的钟和自己的一系列静止的 钟对比,发现那只运动的钟慢了。 运动长度收缩效应: S系中的测量者必须同时去测量运动棒的 两个端点的坐标。
(动长) (静长)
u2 l l 1 c2
dx x x ut ( 1 ) u d x d x dt y y ( 2 ) dt vx u d x z z ( 3 ) d t d t d t 1 2 c d t t t u2 x ( 4 ) c v x u （记） 所以 vx uv x 1 c2 vy 同理可得 v y uv x 这就是相对论 1 2 速度变换。 c vz vz 注意：vx’, vy’,vz’ 都是 uv x 与 u、v 有关的。 1 2 x c
S’系中定量计算： S’
u 列车
S x2t2
x1t1
x
B 隧道 A
b
a
x’
设：
隧道 x’2t’2 x’1t’1
S系 S’系 事件1（aA相遇） （ x1t1 ）（ x’1t’1）
事件2（B端打闪） （ x2t2 ）（ x’2t’2 ） 按题意 Δ t t 2 t1 0
Δ x x2 x1 10m
这是从S系的时空向S’系的时空变换的式子。
从S’系的时空向S系的时空变换的式子： （只须将带’ 不带’ ；u -u）
x x ut y y z z u t t 2 x c
这称为洛仑兹 逆变换。
……………（1）
……………（2） ……………（3）
由于这两个事件无因果关系，虽然 t2 - t1 > 0 但是, x1、x2 是可以取各种数值的, 对于 x2-x1的不同情况来说， t’(完全可以) 0；0；0 。 即两事件的时序完全可能颠倒。
但是,若小A，小B是一母所生,
而且母亲是位旅行家,在 x1、t1 生了小A, 在 x2、t2 生了小B。
l隧 l隧 静 1 u 2 / c 2 10 1 ( 3c / 2) / c 5 m l 车 静 (20 m)
2 2
b 露在外面 15 m , 闪电会留下痕迹。 （？） 思考：怎么结论不一样？问题出在哪里？
列车
b
B
隧道 A
a 隧道 u
由于地面系看,列车a 端与隧道A 端相遇与闪电 正击中隧道的 B 端是同时的， 但在 列车系中看就不是同时的了: a，A相遇的事件先发生 B 处打闪的事件后发生（想一想。） B处打闪时列车的 b 端可能已经进入隧道了。 下面来定量计算，检验一下：
u x 2 x1 Δ t (t 2 t1 ) 1 2 . c t 2 t1 u (t 2 t1 ).(1 2 .v x ) c
由于 v x c ,而 u < c ,
若 t2 > t1 , 则 必有 t 2 t1 .
u 所以 1 2 v x 0 c
……………（4）
说明：
1. 当 u<< c时， 伽利略变换。 1 ,洛仑兹变换过渡到
满足“对应原理” 这时可以认为时间不延缓,长度也不缩短。 2. 当 u c 时，洛仑兹变换无意义， 即两个物体之间的相对速度不能超过c。 c 为一切物体（参考系）的极限速率。 3. 时间和空间都与运动有关。
时间和空间紧密相连，两者构成统一的 四维时空。
x
x ut 1 u
2
…（1）
c2 y’= y ……………（2）
z’= z ……………（3） 在S’ 系看： S系也在运动（-u）， x长度也有缩短效应: 将（1）式 可得 x，代入上式，
x x的运动长度 ut
x 1 u
2
c
2
ut
u t 2 x c t 2 1 u 2 c
隧道
列车
b
B
隧道 A
a 隧道 u
【解】设地面为 S 系，列车为 S’ 系， 在地面系S中看：列车的长度要缩短为
l车 l车静
u2 ( 3c / 2) 2 1 2 20 1 10 m 2 c c
a与 A相遇时，b 恰好进入隧道， 闪电不会留下痕迹。
列车
b
B
隧道 A
a 隧道 u
在列车系S’中看：隧道的长度也要缩短
…（4）
这（1）（4）式，称为洛仑兹（坐标）变换。
通常令
1 u2 1 c2
它大于1
u c
洛仑兹变换可以简写成 x x ut (1) y y ( 2)
z z ( 3) （记！） t t x ( 4) c
事件2（击中车头）:（x2 , t2）,（ x , t 2） 2
u
按题意,已知 x’ = x2’-x1’ = 0.5 km t1 ) t2 ) ( x1 ( x2 x t = t2 - t1 =0 x u = 100 km/h ( x1t1 ) ( x2 t 2 ) 由洛仑兹变换， t’ = t’2- t’1=（ t - u x /c2） ？
相对论速度逆变换： 将带’不带’ , 将 u - u
v u vx x uv x 1 2 c v y vy uv x 1 2 c
注意1：当Δ t 0, Δ x 0 时，得Δ t 0.
按题意,已知 x’ = x2’-x1’ = 0.5 km t = t2 - t1 =0 u = 100 km/h
负号表示 t2’小,即车头先打闪，与重要规律一致。
也同时！ 注意2：在例1中， x 与 x’ 不是静长与动长关系。
例3 . 一列车以恒定速度 u 3c / 2 通过隧道， 列车的静长为20m，隧道的静长为10m。 从地面上看，当列车的前端 a 到达隧道 A端的 同时，有一个闪电正击中隧道的 B 端。 试问：（1）从地面参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？ （2）从列车参考系看，此闪电能否 在列车的 b 端留下痕迹？ 列车 b B 隧道 A a u
即对这种情况,在飞船上看也是小A先出生， 两事件的时序没有颠倒。
洛仑兹变换应用举例: 例1.已知S’系相对S系以 u = 0.6c 运动，有两个 无关事件，在S 系中测量； x1 = 0, t1=0； x2 = 3000 m, t2=410-6 s 。
求：在S’系中测量它们 的相应时空坐标。
y
y
这时时序就不应颠倒了！
u x2 x1 Δ t (t 2 t1 ) 1 2 . c t 2 t1
我们将上式中的
x 2 x1 记作 vx , t 2 t1
这时，它是有物理意义的： -------母亲旅行的平均速度。
在开炮---击中目标问题中，这是炮弹的飞行速度。 一般来说，这是信号（物质、能量）传播的速度。
题意 t1 = 0, t2 >0 而得 t1 0, t 2 0 说明在 S’系中，这两无关事件 的时间顺序发生了颠倒。
例2.已知:火车静长为 0.5 km,速度为 100 km/h, 地面观察者看到两个闪同时击中火车的头尾, 求:火车上的观察者看到这两个闪的时间差。 【解】事件1（击中车尾）:（x1 ,t1）,（ x , t 2） 2
7.3.3 洛仑兹变换
研究： 爱因斯坦时空观
新的时空变换关系
在S系看: S’系在运动, x’长度有缩短效应
y
Fra Baidu bibliotek
y
S ut
0
S
u
x ut x的运动长度
2
0
z
z
P ( x, y, z , t ) ut x 1 u c 2 ( x , y, z , t ) x ut x x x u2 2 1 c
在这段时间差内，隧道的B 端相对于列车 b 端向左移动了一端距离：
3c 10 3 Δ S u Δ t 15 m 2 c
前面隧道长度缩短，b 端露在外面的长度为15m, 在列车上看，由于时间差，b 端也正好进入隧道， B 处打闪也没有在 b 端留下痕迹，结论相同！
二、相对论速度变换
u2 ( 3c / 2)2 1/ 1 2 1/ 1 2 2 c c
由洛仑兹变换,计算两事件的时间差， u Δ t t 2 t1 (Δ t 2 Δ x ) c
10 3 3c / 2 2 0 ( 10) 2 c c
1.25(3000 0.6c 4 10 ) 2850m
2
6
x1 = 0, t1=0； x2 = 3000 m, t2=410-6 s u = 0.6c
t1 ( t1 ux1 / c ) 0 2 6 t 2 (t 2 ux2 / c ) 2.5 10 s
洛仑兹变换符合因果时序。
例. 事件P1: 张家生了个小A 事件P2: 李家生了个小B
在S系，S’ 系中的时空坐标为: S: p1 ( x1，t1 ) p2 ( x2，t 2 ) S : p1 ( x1，t1 ) p2 ( x，t 2 ) 2
若在地面S系看, 张家小A先出生， t2 - t1 > 0。 在飞船S’系看, 必然也是张家 小A先出生吗？
复习 在某惯性系，在某地发生的事件, 应该用该惯性系中该地的钟来计时！
重要规律:(针对车箱两端打闪的例子) 沿着两个惯性系相对运动方向发 生的两个事件,若在甲惯性系中看是同 时发生的；则在乙惯性系中看就不是 同时发生的,而是在甲惯性系运动的后 方的 那个事件先发生。 沿垂直于相对运动方向发生的 两个事件，不具有同时的相对性。
S ut
0
S
u
【解】
1 u 1 2 c 1
2
P ( x, y, z , t ) ( x , y, z , t )
0
x
x
z
z
(0.6c )2 1 2 c 1.25
代入洛仑兹变换式，得
x1 ( x1 ut1 ) 0 x ( x2 ut 2 ) 2
dx 在S系中： v x d t x , y, z d x vx x , y ,z 在S’系中： d t
速度的变换关系，完全可以由洛仑兹 坐标变换导出 x x ut ( 1 ) dx u d x y y ( 2 ) dt d x dt vx z z ( 3 ) u dx d t d t d t 1 2 t t u x ( 4 ) c dt c2