第二讲 光线的传播与高斯光束PPT课件
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ds ds
光线的微分方程（光线方程）
r为空间位置矢量，s 为光线传播方向
（1）均匀介质n0 解方程得： rasb
上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着a的方向并通过 b点，因此，在均匀同性介质中，光线是直线传播的
（2）非均匀介质，n0
必须采用光线方程进行分析
d ndrn ds ds
4、在类透镜介质中的传播
rin
n1 n2
rin'
rout r'
out
1 n2 n1
n2R
0 n1
n2
rin rin'
二.光线通过双周期透镜波导序列
由焦距为f1和f2的透镜相距间隔为d，周期性排列而成 现实意义：等效为高斯光束（激光）在焦距为f1和f2的两反射镜组成的 光学谐振腔中的传输
rM r M'
1 0
d 1
rs rs'
b1(AD)1 d
2
2f
b 1
0d4f
四、光线在反射镜之间的传播 ：
f R/2
R1
R2
d
Xn
O Yn
Xn+1 z
Yn+1
掌握：
1、光线矩阵的分析方法 2、几种典型光学元件的光线矩阵 3、复杂光学系统的光线矩阵 4、双周期透镜波导的定义和物理意义 5、双周期透镜波导的稳定性条件 6、光纤在两反射镜之间传播的稳定性条件
n
d d
2x 2z
K 2n0
K 0
x
0
n
d2y d 2z
K 2n0
K 0
y
0
n(x,y)n0[12K K(20)x2y2)]
光线在x方向和y方向的变化是相同的
为了简化，可以取y－z平面上的光线讨论，并以r代替y
d2r K2 r 0 dz2 K(0)
——近轴光线的微分方程
1) K2>0
r(z)r0c ok s k (0 2)z kk (0 2)r0 'si nkk (0 2)z r'(z)kk (0 2)r0si n kk (0 2)z r0 'c ok s k (0 2)z
方程的通解即为以上两个解的线性叠加，也可写为
rs C1rs C2rs
rs rmaxsins ， cos1b
rmax
讨论：
1 ,sin
C12 C22
C1 C12 C22
（1） b 1 ， 为实角，光线在该透镜序列中传播时是
稳定的
（2） b 1 ，光线在该透镜序列中传播时是不稳定的
三、相同透镜波导（ f1＝f2） ：
经过透镜后的光场 EoutEinexpik(x22fy2)
平面波，经过薄透镜，产生一个与离轴距离r2成正比的相位提前量，补偿
了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量，到达焦点时间、相
位相同，实现聚焦
2. 类透镜介质
定义：某种介质折射率满足 n(x,y)n0[12K K(20)x2y2)]
n 0 轴线上的折射率
符号规则
1.通过厚度为L的均匀介质
rout
rin
Lr
' in
r' out
rin'
rout r'
out
1 0
L 1
rin rin'
2.通过不同介质的介面（平面）
n 1 sin
r
' in
n 2 sin
r
' out
n
1
r
' in
n
2
r
' out
r out r in
r
' out
n1 n2
r
' in
激激光光原原理理
第二章 光线的传播与高斯光束
a
L
L a
光线通过各种光学媒质传播的问题 激光在光学媒质中的传输特性
§2.1光线的传播
研究激光在光学媒质中的传输特性
一.光线矩阵 讨论近轴（傍轴）光线
规定： r朝上为正、下为负
指向上方为正、下方为负
sin tg (mra)d drr'(z)
dz
rN
r
' N
1 1
f2
0 1
r r
M
' M
S MN
S+1 f1
d
f1
f2
因此：
rrN N' f121 1010 d1rrss'
同样的：N——S+1
当rr光SS'线11通过复1f杂11光10学系10统时d1，光rr线N N' 矩阵为各个光学元件光线矩阵相
乘，乘因法此的，顺平序面与S与光S线+传1之播间的的方光向线相参反数关系有：
考虑近轴光线 ds d2xd2yd2zdz
ddnzddrzndd22rzn
在二次折射率介质（或类透镜介质）中，折射率没有轴向 分布，仅有径向分布
n d d 2 2 r z n n x i n y j n x k K K 2 n 0 0 x i y j
X,y都是独立变量
2 R
r in
r
' in
r out
r
' out
1 2
R
0 1
r in
r
' in
（1）R>0,凹面反射镜 （2）R<0,凸面反射镜 （3）R趋于无穷,单位矩阵
一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当 于一个焦距f=R/2的薄透镜
5.球面介面
rout rin
r' out
n2 n1 n2R
K (0) 轴线上的波数
K 2 与介质有关的常数（与工作状态也有关系）
研究类透镜介质的实际意义？
3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
x2 y2 z2n2r ——程函方程（几何光学中的基本方程）
光线的传播方向，就是 r 变化最快的方向
在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出： d ndr n
由递推关系：
rs '
wk.baidu.com
1 B
( rs 1
Ars
)
rs1 '
1 B
( rs 2
Ars1 )
rs22bs r1rs 0 b1 2(AD)1d f1d f22d f12f21d f11d f2
该式为一个决定光线穿过透镜波导的演进情形的差分方程
解此差分方程得： rsr0[coss()isins()] rs r0[coss()isins()]
五、光线在类透镜介质中的传播
1. 薄透镜的聚焦机理
AB
AB AO BO f 2 x 2 y 2 f
r
f
1
x2 y2 f2
f
C
Oz
f (1
1 2
x
2
y f2
2
)
f
f
x2 y2
离轴距离为r的相位提前量为
2f
2 n x2 y2 k x2 y2 k r2
0
2f
2f
2f
r out
r
' out
1 0
0 n1
n2
r in
r
' in
3.通过焦距为f的薄透镜
rout rin
r' out
fr
' in
r out
f
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
r out r'
out
1 1
f
0 1
rin r in'
4.通过球面反射镜
r out r in
r
' out
r rS S ' 1 1 1 f1 11 0 1 0d 1 f1 2 11 0 1 0d 1 r rS S ' C AD B r rS S '
rs1 Ars Brs' rs1' Crs Drs'
rs'B1(rs1Asr)
光线的微分方程（光线方程）
r为空间位置矢量，s 为光线传播方向
（1）均匀介质n0 解方程得： rasb
上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着a的方向并通过 b点，因此，在均匀同性介质中，光线是直线传播的
（2）非均匀介质，n0
必须采用光线方程进行分析
d ndrn ds ds
4、在类透镜介质中的传播
rin
n1 n2
rin'
rout r'
out
1 n2 n1
n2R
0 n1
n2
rin rin'
二.光线通过双周期透镜波导序列
由焦距为f1和f2的透镜相距间隔为d，周期性排列而成 现实意义：等效为高斯光束（激光）在焦距为f1和f2的两反射镜组成的 光学谐振腔中的传输
rM r M'
1 0
d 1
rs rs'
b1(AD)1 d
2
2f
b 1
0d4f
四、光线在反射镜之间的传播 ：
f R/2
R1
R2
d
Xn
O Yn
Xn+1 z
Yn+1
掌握：
1、光线矩阵的分析方法 2、几种典型光学元件的光线矩阵 3、复杂光学系统的光线矩阵 4、双周期透镜波导的定义和物理意义 5、双周期透镜波导的稳定性条件 6、光纤在两反射镜之间传播的稳定性条件
n
d d
2x 2z
K 2n0
K 0
x
0
n
d2y d 2z
K 2n0
K 0
y
0
n(x,y)n0[12K K(20)x2y2)]
光线在x方向和y方向的变化是相同的
为了简化，可以取y－z平面上的光线讨论，并以r代替y
d2r K2 r 0 dz2 K(0)
——近轴光线的微分方程
1) K2>0
r(z)r0c ok s k (0 2)z kk (0 2)r0 'si nkk (0 2)z r'(z)kk (0 2)r0si n kk (0 2)z r0 'c ok s k (0 2)z
方程的通解即为以上两个解的线性叠加，也可写为
rs C1rs C2rs
rs rmaxsins ， cos1b
rmax
讨论：
1 ,sin
C12 C22
C1 C12 C22
（1） b 1 ， 为实角，光线在该透镜序列中传播时是
稳定的
（2） b 1 ，光线在该透镜序列中传播时是不稳定的
三、相同透镜波导（ f1＝f2） ：
经过透镜后的光场 EoutEinexpik(x22fy2)
平面波，经过薄透镜，产生一个与离轴距离r2成正比的相位提前量，补偿
了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量，到达焦点时间、相
位相同，实现聚焦
2. 类透镜介质
定义：某种介质折射率满足 n(x,y)n0[12K K(20)x2y2)]
n 0 轴线上的折射率
符号规则
1.通过厚度为L的均匀介质
rout
rin
Lr
' in
r' out
rin'
rout r'
out
1 0
L 1
rin rin'
2.通过不同介质的介面（平面）
n 1 sin
r
' in
n 2 sin
r
' out
n
1
r
' in
n
2
r
' out
r out r in
r
' out
n1 n2
r
' in
激激光光原原理理
第二章 光线的传播与高斯光束
a
L
L a
光线通过各种光学媒质传播的问题 激光在光学媒质中的传输特性
§2.1光线的传播
研究激光在光学媒质中的传输特性
一.光线矩阵 讨论近轴（傍轴）光线
规定： r朝上为正、下为负
指向上方为正、下方为负
sin tg (mra)d drr'(z)
dz
rN
r
' N
1 1
f2
0 1
r r
M
' M
S MN
S+1 f1
d
f1
f2
因此：
rrN N' f121 1010 d1rrss'
同样的：N——S+1
当rr光SS'线11通过复1f杂11光10学系10统时d1，光rr线N N' 矩阵为各个光学元件光线矩阵相
乘，乘因法此的，顺平序面与S与光S线+传1之播间的的方光向线相参反数关系有：
考虑近轴光线 ds d2xd2yd2zdz
ddnzddrzndd22rzn
在二次折射率介质（或类透镜介质）中，折射率没有轴向 分布，仅有径向分布
n d d 2 2 r z n n x i n y j n x k K K 2 n 0 0 x i y j
X,y都是独立变量
2 R
r in
r
' in
r out
r
' out
1 2
R
0 1
r in
r
' in
（1）R>0,凹面反射镜 （2）R<0,凸面反射镜 （3）R趋于无穷,单位矩阵
一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当 于一个焦距f=R/2的薄透镜
5.球面介面
rout rin
r' out
n2 n1 n2R
K (0) 轴线上的波数
K 2 与介质有关的常数（与工作状态也有关系）
研究类透镜介质的实际意义？
3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
x2 y2 z2n2r ——程函方程（几何光学中的基本方程）
光线的传播方向，就是 r 变化最快的方向
在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出： d ndr n
由递推关系：
rs '
wk.baidu.com
1 B
( rs 1
Ars
)
rs1 '
1 B
( rs 2
Ars1 )
rs22bs r1rs 0 b1 2(AD)1d f1d f22d f12f21d f11d f2
该式为一个决定光线穿过透镜波导的演进情形的差分方程
解此差分方程得： rsr0[coss()isins()] rs r0[coss()isins()]
五、光线在类透镜介质中的传播
1. 薄透镜的聚焦机理
AB
AB AO BO f 2 x 2 y 2 f
r
f
1
x2 y2 f2
f
C
Oz
f (1
1 2
x
2
y f2
2
)
f
f
x2 y2
离轴距离为r的相位提前量为
2f
2 n x2 y2 k x2 y2 k r2
0
2f
2f
2f
r out
r
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1 0
0 n1
n2
r in
r
' in
3.通过焦距为f的薄透镜
rout rin
r' out
fr
' in
r out
f
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
r out r'
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1 1
f
0 1
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4.通过球面反射镜
r out r in
r
' out
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rs1 Ars Brs' rs1' Crs Drs'
rs'B1(rs1Asr)