数学解题教学

第2章数学教学理论与实践

专题三：数学解题教学

一、数学解题的基本步骤

美籍数学家、数学教育家波利亚(G．Polya)在《怎样解题》、《数学的发现》等著作中，给出了一个简明的数学问题解决的过程和步骤，点明了采取这些步骤的动机和态度，揭示了解数学题的心理活动历程。

①理解问题。首先，必须弄清楚问题的求解目标是什么，并将其目标在脑海中留下深刻的印象。其次，弄清楚已知条件是什么，明确任务：如何在已知与未知之间架起桥梁。

②设计求解计划。先观察能否在已知条件与未知解答中直接架起桥梁。倘若不能，就得采用迂回的策略设计辅助问题，以求达到目标。通过辅助问题的解决在已知与未知之间建立联系，形成一条通道。

③实现求解计划。将探索到的解题方案进行逻辑整理，并且用语言将其表达出来。

④检验和回顾。检验所得结果是否符合实际，回顾解题过程中的关键，探索更好的方法。

例1 任意一个△ABC，它的三条边都被4等分，从顶点A、B、C分别向对边的对应等分点E、F、G引直线，如图3-2，它们两两相交于L、M、N三点，求△LMN与△ABC的面积之比。

分析：①对题意的理解：当我们开始理解这道题的题意时，△ABC 与△LMN的面积关系并不能直接看出来，但很容易看出△LMN的面积可以由△ABC的面积减去△LAB、△MBC、△NCA这三个三角形的面积得到，于是△LMN与△ABC的面积关系就转化成其周围小三角形与△ABC的面积关系，这是对题意的新的理解。注意到△LMN周围的三个小三角形与△ABC分别都是同底不同高的，因而它们的面积之比就是高之比。又注意到△ABC各边被4等分，把这些情况概括起来不难发现线段的比例关系，对解决此题有很大作用，这是对题意更深入的理解。

②作出解题的一个设想：联系过去的解题经历(联系已经解决的问题)，寻找线段比例关系的常用办法是利用4等分点作平行线。如图3-2中那样作平行线GH、DF，就立即出现一系列相似三角形：△ABC∽△AGH、△CFP∽△CHG、△FPM∽△BCM等。于是可以猜想△MBC 与凸△ABC高之比很可能由此得到。至此，实际上已经有了解题的一个设想或方案。

至此，可以说对这个问题已经得到了一个解法。这一解法中，所涉及的运算有：添置辅助线；平行线的性质定理；相似三角形的判定与性质定理；比例的合分比定理；逻辑运算规则等。

④回顾解题过程：按照解题思维活动过程的几个阶段，回顾以上的解题过程，可产生一些新的认识。当进一步理解题意，研究与问题有关的全部情况时，注意到如果原问题已知：△LMN与△ABC的面积之比是一定值，再要求求出这个定值，那么尽管上述解法仍然有效，但增加了：“定值”这一条件，使解法产生质的变化。由这个“定值”及题中的△ABC是“任意”三角形，而产生一个重要的启示：内外三角形面积之比的定值关系，既然对任意三角形都能成立，那么自然对特殊三角形——等边三角形亦能成立，因此只要对等边三角形这一特

O

B

A

C

D

殊情形加以研究，一个新的简便的方法就应运而生了。可见，经过“特殊化”，对问题产生了新的认识。

能否把这个问题的结论推广到新情况去。这是解题思维活动中极为重要的组成部分，但在多数情况下被学生甚至教师忽视了，往往使学生丧失了尝试一下发明创造滋味的机会，对培养学生创造精神不利。就这题而言，容易想到：将任意三角形各边4等分后，内外三角形的面积之比是一个定值，那么将任意三角形各边5等分、6等分……n 等分后，内外三角形面积之比与n 之间是否有一个函数关系呢？

例2 Ptolomy 定理：已知四边形ABCD 内接于圆O ，求证AC.BD=AB.CD+AD.BC

用什么方法可导向结论？

①变形：将左边拆成两项

②变形：移项得AC.BD-AB.CD=AD.BC ，能够将左边化简，从

而导向右边吗？

③化异为同：AC 、BD 可以用四边形的边来表示吗？ ④利用中介化异为同：AC,BD,AB,BC,CD,DA 可以用什么共同

的的中介量来表示吗？

⑤联想：设α=∠APB ，则AC.BD 再乘以αsin 2

1就等于S ABCD ，

那么右边乘以αsin 2

1能否得到S ABCD 呢？

二、数学中的逻辑思维方法 1．类比

类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两类。

简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为

复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为

运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

例1欧拉用类比法发现伯努利级数之和

例2任给7个实数x k （k=1，2，…，7）．证明其中有两个数x i ，x j ，满足不等式3

110≤+-≤

j

i j i x x x x 。

例3已知x i ≥0（i ＝1，2，…，n ），且x l +x 2+…+x n =1。求证：

n x x x n ≤++≤ 211。

2．归纳

H 蕴涵A H 蕴涵B ，B 真

猜测 A 可能真

6

914112π=

+++

归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情形的分析得出一般性结论的思维方式。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。

设M i (i=1，2，…，n)是待研究的对象M 的特例或子集，若M i 具有性质P ，由此猜想M 也可能具有性质P 。即

)()(1

M P M P M M i i n

i →∧⊆=

当M M i n i ==1

时称为完全归纳法；当M M i n

i ⊂=1

时，称为不完全归纳

法。前者属于数学证明的方法，后者是数学发现中常用的方法。

完全归纳法也称枚举法，它是根据每一个M i (i=1，2，…，n)均具有某种属性而推出M 也具有这种属性，因而所得到的结论必定正确。

例1 设凸n 边形的任意三条对角线在形内不交于一点，求所有对角线在形内交点数目N n 。

例2证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于84+。 3．演绎法

演绎是由一般性前提推出特殊性结论的思维方法。通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。 1．三段论