2.2 初等模型-拟讲义合比例类比

分析（建模）：人身体的表面非常复杂，为了简化问题，将 人看作是一长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c,选择适 当的直角坐标系，使人的行走速度为(u,0,0),设雨的速度为 (vx,vy.vz),人的行走距离为L，则行走时间为L/u。
在上述分析下，由高数曲面积分中通量的概念，显然单 位时间内的淋雨量正比于
判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 样 建； 立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
常识：刹车距离与车速有关
问 10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶
题 29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) 分
析 “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则
不 反 同 反应时间 司机 制动系统
( u v x ,0 v y ,0 v z ) .( 1 ,b ,c ) u v x v y b v z c
补充：设某向量场由
A (x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中
P，Q，R具有一阶连续偏导数，∑是场内的一
片有向曲面，n是∑在点(x,y,z)处的单位法向量，
L R(u)u(uvx a)
由于这个模型的特殊性，用图解法求解方便些，分以下 几种情况讨论：
(1). vx 0， R（u）=LLuu((((uvx-vxu))aa)=)=LL(a(uv-vuxx+)a+)L,L(u,(>uvx)vx)
• 当v x>a时，可以大体做出R(u)的图像，
由图知，当v x=u时，R（u）取得最小值，且Rmin=La/vx
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2.2 初等模型-拟合比例类比
精品jing
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 • 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，
景
后面与前车的距离应增一个车身的长度。
与 • 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
问 • 后车司机从前车经过某一标志开始默数 题 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何
1、问题的分析与假设
把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面 面积s如下图所示。
将这种圆柱体的躯干类比作—根支撑在四肢上的弹性 梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。
2、模型的建立：
原理： 动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的
最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：
进一步分析b/l的意义……
88.0
70
102.7
80
117.3
实际刹车距离 （英尺） 42（44） 73.5（78） 116（124） 173（186） 248（268） 343（372） 464（506）
计算刹车距离 （英尺） 39.0 76.6 126.2 187.8 261.4 347.1 444.8
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1 v k2v 0 .7v 5 0 .0v 2 6
车速
刹车时间
(英里/小时) （秒）
20
1.5
30
1.8
40
2.1
50
2.5
60
3.0
70
3.6
80
4来自百度文库3
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
车速（英里/小则时”） 0~10
10~40 40~60
3、生物学角度分析b/l
b/l生理学意义： b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将
无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑 躯干的需要，无疑是一种浪费。
生物学进化角度： 经过长期进化，对每一种动物而言b/l已经达到其
最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的 常数。
4、结论
•当v x<a时，仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当u尽可能 大时，R（u）才会尽可能小（接近于L）。
(2). vx<0，
R（u） =L u(u+vx
a)=L(a+vx u
) +L
仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当u尽可能大时，R（u） 才会尽可能小。
(3).当vx=a及vx=0，分别为上述情况(1)，(2)的特例。
（1）关系式： （前面分析）
（2）另一些比例关系：
（3）最终结论：
即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一 种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系 数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。
作业
问题：人在雨中从一处向另一处行走，当雨的速度已知 时，问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小？
应
状况 灵活性
距
刹离
车速
常数
车 距
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… …
离
动 距
最大制动力与车质量成正比，
常数
离 使汽车作匀减速运动。
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
dd1d2
2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间
3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变;
d1 t1v
F d2= m v2/2 F m
且F与车的质量m成正比
dt1vkv2
d2 kv2
模 型 dt1vkv2
参数估计
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
车速 (英里/小时) (英尺/秒)
20
29.3
30
44.0
40
58.7
50
73.3
60
则
A .n d s
叫做向量场A通过曲面∑向着指定侧的 通量。
从而总淋雨量正比于
L R (u)u(uvxvybvzc)
不 妨 令vy bvz c=a,
显然a>0,则
L R(u)u(uvx a)
于是原问题抽象成如下数学问题： 在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值。
求解模型: 在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值，其中
t（秒）
1
2
3
60~80 4
动物的身长和体重
问题的提出： 四足动物的躯干的长度(不含头尾)与它的体重有什
么关系？ 这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站
或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出 它的体重。
动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物 学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使 用价值的模型．这里我们仅在十分粗赂的假设基础上， 利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和 体重间的比例关系。