称为丢番图方程可解希尔伯特问
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定理4.11:设实数a,b且a<b,则 [a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2) |R|=|(0,1)|=c
线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的 整数集，非负整数集，正整数集，有理 数集它们的基数是0 实数集为 无理数集?
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0<c 康托尔早在一百年前就提出了一个猜想: 在0与c之间没有其它的基数, 这就是著 名的连续统假设。 1900年著名数学家希尔伯脱(Hilbet.D)在 巴黎数学大会上列举了23个未解决的数 学问题, 向数学家们进行挑战, 其中第一 个就是“康托尔的连续统基数问题”。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在无限集中,有基数为0,c,还有其他基数 吗? 定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的基 数不是0,也不是c. 证明:(1) F的基数不是0 (2)F的基数不是c. 定义: [0,1]上一切实函数集的基数为f,也 记为2. 现在有0, 1, 2,能否类似于数进行比较?
4.4 基数的比较
定义4.6：设A和B是两个集合, 若存在从 A到B的内射, 则称A的基数小于或等于B 的基数,记为|A|≦|B|或|B|≧|A|。若 |A|≦|B|且|A|≠|B|, 则称A的基数小于B的 基数, 记为|A<|B|。 定理4.12：设A,B,C是任意集合, 那么 (1)若AB,则|A|≦|B|。 (2)若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|。
定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A,必 有|A|<|P (A)|。 证明： 康托尔定理告诉我们 :任意给定一个集合 A, 总存在基数比 |A|更大的集合 , 也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N, P (N),P (P (N)),… 且|N|<|P (N)|<|P (P (N))},… 左方最开始的不等式表示0<|P (N)}, 以后每一个都大于它前面的一个, |P (N)|是什么呢?
(4)两点间以直线为距离最短线问题。 此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些 限制条件。 1973年，苏联数学家波格列洛夫（ Pogleov ）宣布， 在对称距离情况下，问题解决。 (5)拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都 一 定 是 李 群 。 1952 年 ， 由 格 里 森 （ Gleason ） 、 蒙 哥 马 利 （ Montgomery）、齐宾（ Zippin ）共同解决。 1953 年，日本的 山迈英彦已得到完全肯定的结果。 (6)对数学起重要作用的物理学的公理化。 (7)某些数的无理性与超越性 (8)素数分布问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题 等。 (9)一般互反律在任意数域中的证明。 该问题已由日本数学家高木贞治（ 1921）和德国数学家E.阿廷 （1927）解决。
当A是有限集时,|A|=n,则|P (A)|=2n,即|P (A)|=2|A|。 当A是无限集时,也记|P (A)|为2|A|。 A是可列集, 则有|P (A)|=2 , |P (N)|= 2 c与2 之间有何关系 定理 4.17：|P (N)|=c, 即2 =c。 0：所有整数(或分数)的数目； 1=|P (N)| ：线段上所有几何点 ( 实数 ) 的 个数； 2=|P (P (N))|：所有几何曲线的个数。
证明基数相同的方法有：构造双射；构 造内射f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作内射 g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。 例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。 例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为 c。 定理4.15：设A是有限集, 则|A|<0<c<f
(1)康托尔的连续统基数问题。 1938 年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续 统假设与 ZF集合论公理系统的无矛盾性。 1963年，美国数 学家科思（ P.Choen ）证明连续统假设与 ZF 公理彼此独立。 因而，连续统假设不能用 ZF公理加以证明。在这个意义下， 问题已获解决。 (2)算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性归结为算术公理的无矛盾性 . 根茨 (G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公 理系统的无矛盾性。 (3) 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体 积是不可能的。 存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小 四面体，使这两组四面体彼此全等 . 德思(M.Dehn)1900年解 决
对于基数集，对于基数集上任一元素|A|，因为 AA,则|A|≦|A|，自反。 由定理4.12(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知 传递， 是否反对称呢？
定理 4.14( 伯恩斯坦 (F.Bernstein)定理 ): 设 A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则 |A|=|B|。 由此定理知 ,基数集上的 ≦关系是偏序关 系 ,又由定理 4.13知 ,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系. 利用存在 A 到 B 的内射和 B 到 A 的内射来 构造A与B之间的双射
设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=0, 由定理4.10知，
定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。
|R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是。 定理：两两不相交的可列个基数为c的集 合的并集，它的基数也是c。
设E1, E2,…,En,…是两两不相交的基数为c的集 合.S= ∪Ek 构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托. 利用Ei与[c,d)存在双射来实现
推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。 可列集是无限集中基数最小的 [0,1]是无限集，且|[0,1]|=c0, 所以c>0 定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理 ):设A和B 是任意两个集合, 那么|A|<|B|,|B|<|A|,|A|= |B|三者中恰有一个成立。
线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的 整数集，非负整数集，正整数集，有理 数集它们的基数是0 实数集为 无理数集?
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0<c 康托尔早在一百年前就提出了一个猜想: 在0与c之间没有其它的基数, 这就是著 名的连续统假设。 1900年著名数学家希尔伯脱(Hilbet.D)在 巴黎数学大会上列举了23个未解决的数 学问题, 向数学家们进行挑战, 其中第一 个就是“康托尔的连续统基数问题”。
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在无限集中,有基数为0,c,还有其他基数 吗? 定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的基 数不是0,也不是c. 证明:(1) F的基数不是0 (2)F的基数不是c. 定义: [0,1]上一切实函数集的基数为f,也 记为2. 现在有0, 1, 2,能否类似于数进行比较?
4.4 基数的比较
定义4.6：设A和B是两个集合, 若存在从 A到B的内射, 则称A的基数小于或等于B 的基数,记为|A|≦|B|或|B|≧|A|。若 |A|≦|B|且|A|≠|B|, 则称A的基数小于B的 基数, 记为|A<|B|。 定理4.12：设A,B,C是任意集合, 那么 (1)若AB,则|A|≦|B|。 (2)若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|。
定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A,必 有|A|<|P (A)|。 证明： 康托尔定理告诉我们 :任意给定一个集合 A, 总存在基数比 |A|更大的集合 , 也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N, P (N),P (P (N)),… 且|N|<|P (N)|<|P (P (N))},… 左方最开始的不等式表示0<|P (N)}, 以后每一个都大于它前面的一个, |P (N)|是什么呢?
(4)两点间以直线为距离最短线问题。 此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些 限制条件。 1973年，苏联数学家波格列洛夫（ Pogleov ）宣布， 在对称距离情况下，问题解决。 (5)拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都 一 定 是 李 群 。 1952 年 ， 由 格 里 森 （ Gleason ） 、 蒙 哥 马 利 （ Montgomery）、齐宾（ Zippin ）共同解决。 1953 年，日本的 山迈英彦已得到完全肯定的结果。 (6)对数学起重要作用的物理学的公理化。 (7)某些数的无理性与超越性 (8)素数分布问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题 等。 (9)一般互反律在任意数域中的证明。 该问题已由日本数学家高木贞治（ 1921）和德国数学家E.阿廷 （1927）解决。
当A是有限集时,|A|=n,则|P (A)|=2n,即|P (A)|=2|A|。 当A是无限集时,也记|P (A)|为2|A|。 A是可列集, 则有|P (A)|=2 , |P (N)|= 2 c与2 之间有何关系 定理 4.17：|P (N)|=c, 即2 =c。 0：所有整数(或分数)的数目； 1=|P (N)| ：线段上所有几何点 ( 实数 ) 的 个数； 2=|P (P (N))|：所有几何曲线的个数。
证明基数相同的方法有：构造双射；构 造内射f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作内射 g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。 例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。 例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为 c。 定理4.15：设A是有限集, 则|A|<0<c<f
(1)康托尔的连续统基数问题。 1938 年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续 统假设与 ZF集合论公理系统的无矛盾性。 1963年，美国数 学家科思（ P.Choen ）证明连续统假设与 ZF 公理彼此独立。 因而，连续统假设不能用 ZF公理加以证明。在这个意义下， 问题已获解决。 (2)算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性归结为算术公理的无矛盾性 . 根茨 (G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公 理系统的无矛盾性。 (3) 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体 积是不可能的。 存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小 四面体，使这两组四面体彼此全等 . 德思(M.Dehn)1900年解 决
对于基数集，对于基数集上任一元素|A|，因为 AA,则|A|≦|A|，自反。 由定理4.12(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知 传递， 是否反对称呢？
定理 4.14( 伯恩斯坦 (F.Bernstein)定理 ): 设 A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则 |A|=|B|。 由此定理知 ,基数集上的 ≦关系是偏序关 系 ,又由定理 4.13知 ,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系. 利用存在 A 到 B 的内射和 B 到 A 的内射来 构造A与B之间的双射
设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=0, 由定理4.10知，
定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。
|R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是。 定理：两两不相交的可列个基数为c的集 合的并集，它的基数也是c。
设E1, E2,…,En,…是两两不相交的基数为c的集 合.S= ∪Ek 构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托. 利用Ei与[c,d)存在双射来实现
推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。 可列集是无限集中基数最小的 [0,1]是无限集，且|[0,1]|=c0, 所以c>0 定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理 ):设A和B 是任意两个集合, 那么|A|<|B|,|B|<|A|,|A|= |B|三者中恰有一个成立。