2014中考复习备战策略_数学PPT第25讲_锐角三角函数

4 B. 3
3 C. 5
4 D. 5
解析： ∵∠C＝ 90° ， AB＝ 5， BC ＝ 3， ∴sin A ＝ ∠A的对边 BC 3 ＝AB＝ .故选 C. 5 斜边
3．sin 60° 的相反数是( C 1 A．－ 2 3 C．－ 2
)
3 B．－ 3 2 D．－ 2
4．(2013· 乐山)如图，在直角坐标系中，P 是第一 象限内的点，其坐标是(3，m)，且 OP 与 x 轴正半轴的 4 夹角 α 的正切值是 ，则 sin α 的值为( A 3 )
4 A. 5
5 B. 4
3 C. 5
5 D. 3
解析：如图，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则可得 OE PE 4 ＝3，PE＝m，在 Rt△POE 中，tan α＝ ＝ ，解 OE 3 4 得 m＝4，则 OP＝ PE ＋OE ＝5，故 sin α＝ . 5
2 2
5．已知锐角 A 满足关系式 2sin2A－7sin A＋3＝0， 则 sin A 的值为( A 1 A. 2 B．3 ) 1 C. 或 3 2 D．4
3 【点拨】原式＝2× －1－( 3－1)＝ 3－1－ 3 2 ＋1＝0.故选 B. 【答案】 B
考点三 例 3
三角函数之间的关系
(2013· 连云港)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ， ) 2 C. 3 12 D. 13
5 若 sin A＝ ，则 cos A 的值是( 13 5 A. 12 8 B. 13
解析：如图，过点 A 作 AC⊥OB 于点 C，在 Rt△AOC 中，由格点图可知 OC＝2，AC＝3，故 AC 3 tan∠AOB＝tan∠AOC＝ ＝ .故选 B. OC 2
2．(2013· 温州)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，AB ＝5，BC＝3，则 sin A 的值是( C )
3 A. 4
11．如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB， AD 的中点，若 EF＝2，BC＝5，CD＝3，则 tan C 等 于( B )
3 A. 4
4 B. 3
3 C. 5
4 D. 5
解析：如图所示，
连接 BD.由三角形中位线定理，得 BD＝2EF＝2×2＝ 4.又∵BC＝5，CD＝3，∴CD ＋BD ＝BC ，∴△BDC BD 4 是直角三角形且∠BDC＝90° ，∴tan C＝CD＝ . 3 故选 B.
1 A. 2
1 B. 3
1 C. 4
2 D. 4
解析：过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D.根据旋转的 CD 性质可知，∠B′＝∠B.在 Rt△BCD 中，tan B＝ ＝ BD 1 1 ，∴tan B′＝tan B＝ .故选 B. 3 3
10 ． (2013· 广州 ) 如图，四边形 ABCD 是梯形， AD∥BC，CA 是∠BCD 的平分线，且 AB⊥AC，AB＝ 4，AD＝6，则 tan B＝( B )
2 2 2
12．(2013· 深圳)如图，已知 l1∥l2∥l3，相邻两条平 行直线间的距离相等， 若等腰直角△ABC 的三个顶点分 别在这三条平行直线上，则 sin α 的值是( D )
1 A. 3
6 B. 17
5 C. 5
10 D. 10
解析：如图，
过点 A 作 AD⊥l1 于点 D，过点 B 作 BE⊥l1 于点 E， 设 l1 和 l2 之间的距离为 1，则 l2 和 l3 之间的距离也为 1.∵∠CAD＋∠ACD＝ 90° ，∠BCE＋∠ACD＝ 90° ， ∴∠CAD＝∠BCE，
a 5 【点拨】∵sin A＝c ＝ ，∴可设 a＝5x(x＞0)，则 13 c＝13x.在 Rt△ABC 中，由勾股定理，可得 b＝12x， b 12x 12 ∴cos A＝ c＝ ＝ .故选 D. 13x 13 【答案】 D
1．如图，在 8×4 的矩形网格中，每个小正方形 的边长都是 1，若△ABC 的三个顶点都在图中相应的 格点上，则 tan∠ACB 的值为( A )
温馨提示 这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还 要注意它们的变形公式 .
考点一 锐角三角函数的定义 例 1(2013· 湖州)如图，已知在 Rt△ACB 中，∠C＝ 90° ，AB＝13，AC＝12，则 cos B 的值为_______．
【点拨】∵在 Rt△ACB 中，∠C＝90° ，AB＝13， AC＝12，∴BC＝ BC 5 ＝AB＝ . 13 5 【答案】 13 AB2－AC2＝ 132－122＝5.∴cos B
1 A. 3
1 B. 2
2 C. 2
D．3
解 析 ： 如 图 ， 在 网 格 中 构 造 含 有 ∠ACB 的 Rt△ACD， 在△ACD 中， AD＝2， DC＝6， ∴tan∠ACB AD 2 1 ＝ ＝ ＝ .故选 A. DC 6 3
2．把△ ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍， 则 锐角 A 的正弦函数值 ( A．不变 1 B．缩小为原来的 3 C．扩大到原来的 3 倍 D．不能确定 A )
(结果
1 3 3 3 解析：sin 30° · cos 30° －tan 30° ＝ × － ＝ 2 2 3 4 3 3 － ＝－ . 3 12
3 7． 已知 α 是锐角， 且 sin(α＋15° )＝ .计算： 8－ 2 1 －1 4cos α－(π－3.14) ＋tan α＋( ) 的值． 3
3 A. 2
2 B. 3
6 C. 2
6 D. 3
解析：∵BD∶CD＝3∶2，所以设 BD＝3x，CD＝ 2x(x ＞ 0) ．在 △ABC 中， ∠A ＝ 90° ， AD⊥BC ，易证 AD CD △ABD∽△CAD， ∴BD＝AD， ∴AD2＝BD· CD， 即 AD2 AD ＝3x· 2x， 解得 AD＝ 6x.在 Rt△ABD 中， tan B＝BD＝ 6x 6 ＝ .故选 D. 3x 3
解析：令 sin A＝x，则－1≤x≤1，锐角 A 满足的 1 关系式可化为 2x － 7x ＋ 3 ＝ 0. 解得 x1 ＝ ， x2 ＝ 3( 舍 2
2
去)．故选 A.
6 ． (2013· 鄂州 )如图， Rt△ABC 中，∠A ＝ 90° ， AD⊥BC 于点 D， 若 BD∶CD＝3∶2， 则 tan B＝( D )
由勾股定理可知，BD＝ 5x. ∵DE⊥AB， ∴△ABC∽△ADE. DE AD 3 5 ∴ ＝ ，∴DE＝ x. BC AB 5 3 5 x 5 DE 3 ∴sin∠ABD＝ ＝ ＝ . BD 5x 5 故选 A.
3 6．计算：sin 30° · cos 30° －tan 30° ＝ － 12 保留根号)．
0
3 解： ∵α 是锐角， sin(α＋15° )＝ ， ∴α＋15° ＝60° ， 2 1 －1 α＝45° .∴ 8－4cos 45° －(π－3.14) ＋tan 45° ＋( ) ＝ 3
0
2 2 2－4× －1＋1＋3＝3. 2
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 48 分) 1．(2013· 宿迁)如图，将∠AOB 放置在 5×5 的正 方形网格中，则 tan∠AOB 的值是( B 2 A. 3 3 B. 2 2 13 C. 13 ) 3 13 D. 13
第25讲
锐角三角函数
考点一
锐角三角函数的定义
若在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A，∠B，∠C 的 a 对边分别为 a，b，c，则 sin A＝ c a tan A＝ b . b ，cos A＝ c ，
温馨提示 1.锐角三角函数是在直角三角形中定义的. 2.sin A，cos A，tan A 表示的是一个整体，是指两 条线段的比，没有单位. 3.锐角三角函数的大小仅与角的大小有关， 与该角 所处的直角三角形的大小无关. 4.当 A 为锐角时，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1， tan A＞0.
1 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，tan A＝ ， 2 D 是 AC 上一点，∠CBD＝∠A，则 sin∠ABD＝ ( A )
3 A. 5
B.
10 5
3 C. 10Leabharlann 3 10 D. 10解析：如图，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，设 BC＝2x，
1 ∵∠C＝90° ，tan A＝ ， 2 ∴AC＝4x.由勾股定理可知，AB＝2 5x. 1 ∵∠C＝90° ，tan∠CBD＝ ，∴CD＝x. 2
方法总结 根据锐角三角函数的定义， 代入边的长度求出三角 函数值，最好用数形结合的思想画出图形帮助分析求 解.
考点二
特殊角的三角函数值
例 2 (2013· 孝 感 ) 式 子 2cos 30°－ tan 45°－ 1－tan 60° 2的值是( A．2 3－2 C．2 3 ) B．0 D．2
1 7．(2013· 邵阳)在△ABC 中，若|sin A－ |＋ 2 12 (cos B－ ) ＝0，则∠C 的度数是( D 2 A．30° B．45° C．60° ) D．90°
1 1 解析：由题意，得 sin A－ ＝0，cos B－ ＝0， 2 2 1 1 ∴sin A ＝ ， cos B ＝ . 解 得 ∠A ＝ 30° ， ∠B ＝ 2 2 60° .∴∠C ＝ 180° － ∠A － ∠B ＝ 180° － 30° － 60° ＝ 90° . 故选 D.
A．2 3 11 C. 4
B．2 2 5 5 D. 4
解析：如图，延长 BA，CD，交于点 E，∵AB⊥AC， CA 是∠BCD 的平分线，
∴△ABC≌△AEC ， ∴AE ＝ AB ＝ 4 ， CE ＝ ED AE BC.∵AD∥BC ， ∴ DC ＝ AB ＝ 1 ， ∠DAC ＝ ∠BCA ＝ ∠DCA.∴ED ＝ DC ＝ AD ＝ 6.∴BC ＝ CE ＝ 12. 在 Rt△ABC 中，AC＝ BC2－AB2＝ 122－42＝8 2， AC 8 2 ∴tan B＝ ＝ ＝2 2.故选 B. AB 4
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，把∠A 的 b 邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作 cot A＝ .则下 a 列关系式中不成立的是( D )
解析：
4． 如图， 在 Rt△ABO 中， 斜边 AB＝1.若 OC∥BA， ∠AOC＝36° ，则( C )
A．点 B 到 AO 的距离为 sin 54° B．点 B 到 AO 的距离为 tan 36° C．点 A 到 OC 的距离为 sin 36°sin 54° D．点 A 到 OC 的距离为 cos 36°sin 54°
考点二
α 30° 45°
特殊角的三角函数值
sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tan α 3 3 1 3
60°
考点三
三角函数之间的关系
2 2
1．同角三角函数之间的关系：sin α＋cos α＝ 1； sin α tan α＝ . cos α 2．互余两角的三角函数关系：若∠A＋∠B＝90° ， 则 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A. 3．锐角三角函数的增减性 当 α 为锐角时， 0＜sin α＜1,0＜cos α＜1， 且 sin α， tan α 的值都随 α 的增大而增大；cos α 的值随 α 的增 大而减小.
解 析 ： ∵OC∥BA ， ∴∠A ＝ ∠AOC ＝ 36° .在 Rt△ ABO 中，AO＝cos 36° ，BO＝sin 36° .∴点 B 到 AO 的距离为 BO ，即为 sin 36° . 如图，作 AE⊥OC ，在 Rt△ AOE 中，AE＝AOsin∠AOC＝cos 36° sin 36° ＝sin 36° sin 54° .∴点 A 到 OC 的距离为 sin 36° sin 54° .故选 C.
8．已知△ABC 中，∠C＝90° ，∠A＝60° ，a＋B＝ 3＋ 3，则 a 等于( D A. C. 3 3＋1 ) B．2 3 D．3
a 解析：由题意，得 tan A＝ ＝ 3，又∵a＋b＝ b 3＋ 3，∴a＝3，b＝ 3.故选 D.
9．(2013· 昭通)如图，A，B，C 三点在正方形网格 线的交点处，若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到 △AC′B′，则 tan B′的值为( B )