高等数学不定积分

例6. 求
解: 原式 = (sec2 x 1)dx
sec2 x 1 tan2 x csc2 x 1 cot2 x
例7. 求
注意方法
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
例8.
求
1
x4 x2
dx
.
注意方法
解: 原式 =
(
x4 1
1) x2
1
dx
(x2
1)(x2 1 x2
第四章
不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
4.1 不定积分的概念与性质
4.1.1 原函数
定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数，
如果在该区间上有 F(x) f (x) 或 dF (x) f (x)dx ，则称 F (x)是 f (x)
又知
Baidu Nhomakorabea
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
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4.1.2不定积分的概念
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
sin 2x 2sin xcos x
例5. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ex ln 2
1
5 ln 2
C
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例6. 求
解: 原式 = (sec2 x 1)dx
在这个区间上的一个原函数。
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
cos 2x cos2 x sin2 x
例2
cos2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
dx
cos 2
x
dx
x sin x C
2
2
cos 2x 2 cos2 x 1
cos 2x 1 2sin2 x
例3. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解: 原式=
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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(4)
1
dx x
2
arctan
xC
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
1
cos 2
x
dx
cos 2x 2 cos2 x 1 cos 2x 1 2sin2 x
例3. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
例4. 求
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
sin 2x 2sin xcos x
例5. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
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(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
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(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
可微函数，则有
f (u)du F(u) C
性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质5 常数因子可从积分号中提出
kf (x)dx k f (x)dx
k 是常数且 k ≠0
4.2 不定积分的 基本公式
(1) kdx kx C
sec2xdx dx tan x x C
sec2 x 1 tan2 x
csc2 x 1 cot2 x
例7. 求
注意方法
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
4.1.4 不定积分的简单性质
性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。
d dx
f
(x)dx
f
(x) 或
d
f
(x)dx
f
(x)dx
性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。
f (x)dx f (x) C 或 df (x) f (x) C
性质3 积分形式不变性
如果 f (x)dx F (x) C u为 x 的任何
ln a
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例1
cos 2x dx cos x sin x
cos2 x sin 2 x dx cos x sin x
(cos
x
sin cos
x)(cos x sin
x x
sin
x)dx
cos 2x cos2 x sin2 x
例2
cos2
x 2
dx
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
例如,
exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx cos x C
4.1.3 不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
f (x) dx 的图形
1)
1
dx
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例1
cos 2x dx cos x sin x
cos2 x sin 2 x dx cos x sin x
(cos
x
sin cos
x)(cos x sin
x x
sin
x)dx
cos xdx sin xdx
sin x cos x C
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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