大学物理第一章第四节牛顿运动定律

2.作用力与反作用分别作用于两个不同的物体, 各产生其效果。
3.作用力与反作用力性质相同。
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牛顿运动定律的几点说明：
1.牛顿定律只适用于惯性系；
2.牛顿第二定律只适用于质点或可看做质点的物体；
3. ma只是数值上等于合外力，它本身不是力。外力
改变时，它也同时改变，它们同时存在，同时改变, 同时消失。
§1-2 圆周运动和一般曲线运动
§1-3 相对运动 常见力和基本力
§1-4 牛顿运动定律 §1-5 伽利略相对性原理 非惯性系 惯性力
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m K
t
t m / K,
v vT (1 e ) 0.632vT
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例题1-15 有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细 线悬着，下端紧贴着密度为 的液体表面。现悬线剪 断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液 体没有粘性。 解：以棒为研究对象，在下落的过程 O 中，受力如图所示。 棒运动在竖直向下的方向，取竖 Fb 直向下建立坐标系。 x l 当棒的最下端距水面距离为时 x ， 浮力大小为 x
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FT sin m r m l sin y方向 FT cos mg
x方向
2
2
由转速可求出角速度： 2πn
求出拉力：
FT m l 4π n ml 9.8 g cos 2 2 0.497 2 4π n l 4 π 0.5
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mg Fb a m
小球加速度变为
分离变量，积分得到
dv tK 0 d t 0 vT v m
v
v vT (1 e

K t m
)
vT v K ln t vT m v vT
0.632vT
O
1
作出速度-时间函数曲线：
t , v vT
物体在气体或液体中的沉降 都存在极限速度。
2
2 2
60 13

可以看出，物体的转速n愈大，也愈大， 而与重物的质量m无关。
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2. 变力作用下的单体问题 例题1-14 计算一小球在水中竖直沉降的速度。已 知小球的质量为m，水对小球的浮力为Fb，水对小 球的粘性力为Fv=-Kv，式中K是和水的粘性、小球 的半径有关的一个常量。 解：以小球为研究对象，分析受力：
§1-4 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动 状态,除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
1.第一定律涉及了哪两个基本概念? 答:惯性和力。 2.第一定律定义了一个什么样的参考系? 答:惯性参考系。 3.一艘船在一个风平浪静的海面上匀速的航行,某人 站在船尾纵身向上一跃,问此人能否掉入海里?
m1 m2 ar g m1 m2
将ar代入上面任一式FT，得到
2m1m2 FT = g m1 + m2
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(2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度a-ar，B 的对地的加速度为 a+ar ， 根据牛顿第二定律，对 A 和B分别有
FT m1 g m1 (a ar )


dv Ft mat m d2t v Fn man m
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1. 常力作用下的连结体问题 例题1-11 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑 轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m1 和 m2的重物 A和 B， 已知m1>m2。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速上升时， 求绳中的张力和物体A相对与电梯的加速度。 解 ： 以地面为参考系，物体 A 和 B 为研究对象，分 别进行受力分析。 物体在竖直方向运动，建立坐标系Oy FT FT y
小球的运动在竖直方向，以向 下为正方向，根据牛顿第二定律， 列出小球运动方程：
F b Fv m
mg Fb Fv ma
mg
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小球的加速度
d v mg Fb Kv a dt m
最大加速度 极限速度
mg Fb vT K
d v K (vT v) dt m
FT2 sin( ) mg sin ma2
y
O
y方向
x
FT2 cos( ) mg cos 0
求解上面方程组，得到
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FT2 m ( g sin a2 ) g cos
2 2 2
m 2 ga sin a g
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直角坐标系中：
F max i ma y j maz k
dv Ft mat m dt 自然坐标系中： 2 v Fn man m
dvz Fz maz m dt
dvx Fx max m dt dv y Fy may m dt
解方程组，得到：
mg
y
2 1
FT1 m g a
2
O
a1 a1 tan , arctan g g
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x
(2) 以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运 动时，分析受力： FT2 小球的加速度沿斜面向上，垂直 于斜面处于平衡状态，建立图示坐标 系，重力与轴的夹角为。 a2 m 利用牛顿第二定律，列方程： x方向 mg
2 2 2 2
2
g sin a2 tan( ) g cos
g sin a2 arctan g cos
讨论：如果 =0 ， a1=a2 ， 则实际上是小车在水平 方向作匀加速直线运动；如果 =0 ， 加速度为零， 悬线保持在竖直方向。
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Fb mg xg g ( l x)
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利用牛顿第二定律建立运动方程：
dv m g ( l x) dt
利用速度定义式消去时间
dv dx m v g ( l x) dt dt lv d v g ( l x) d x
r ar
m1
r ar
r a1
m1
r a2
m2
r m2 g
m2
O
r m1 g
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(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对 地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别有
FT m1 g m1ar FT m2 g m2 ar
上两式消去FT，得到
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二、牛顿第二定律
运动的变化与所加的合动力成正比,并且发生在 这合力所沿的直线的方向上。 1.第二定律中“运动”一词指什么? 答：质量与速度的乘积即动量。 2.怎样理解第二定律中“变化”一词? 答：对时间的变化率。 第二定律的数学表达式:
d(mv ) d( p ) F F ma dt dt d(mv ) dv dv dm m F m v ma dt dt dt dt
代入上式，整理得
dFT s dFN FT d dFN
上式消去dFN , 并积分得

即得
FTB
FTA
0 dFT s d 0 FT
FTA : FTB 1: e
s0
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选择进入下一节 §1-0 教学基本要求
§1-1 质点运动的描述
FT m2 g m2 (a ar )
解此方程组得到
m1 m2 ar (a g ) m1 m2 2m1m2 FT (a g ) m1 m2
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由(2)的结果，令a=0，即得到的结果
m1 m2 ar g m1 m2
由(2)的结果，电梯加速下降时，a<0，即得到
d d FT cos FT cos s dFN 0 2 2 F sin d F sin d dF 0 T T N 2 2 因d 很小, 所以sin 1, cos 1, FT FT 2 FT , FT FT dFT 2 2 上页 下页 返回 退出
积分得到
lv 2 gl gl
2 2
2
v
2 gl gl

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例题1-16 图为船上使用的绞盘，将绳索绕在绞盘的固 定圆柱上。如绳子与圆柱的静摩擦因数为s，绳子绕 圆柱的张角为0。当绳在柱面上将要滑动时，求绳子 两端张力FTA与FTB大小之比。 解：取一段绳元为研究对 象，受力如图所示： 列出绳元的运动方程：
2m1m2 FT g m1 m2
m1 m2 ar ( g a) m1 m2 2m1m2 FT ( g a) m1 m2
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例题1-12 一个质量为m、悬线长度为l的摆锤挂在架子 上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下 悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角 表示)和 线中的张力： (1)小车沿水平方向以加速度a1作匀加速直线运动。 (2)当小车以加速度 a2沿斜面 (斜面与水平面成 角)向 上作匀加速直线运动。
F ma mat et man en
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三、牛顿第三定律
对于每一个作用,总有一 个相等的反作用与之相反；或F 21 者说,两个物体对各自的对方 的作用总是相等的,而且指向 相反的方向。 牛顿第三定律的数学表达式: F12 F21
F12
2
1
注意:1.作用力与反作用力同生同灭。
l m
l
a2

l
m

a1
m

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解： (1) 以小球为研究对象，当小车沿水平方向作 匀加速运动时，分析受力： FT1 在竖直方向小球加速度为零，水平方 向的加速度为a。建立坐标系如右图： m 利用牛顿第二定律，列方程： x方向： FT1 sin ma1 y方向： FT1 cos mg 0
例题1-13 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板 上，绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀 速率圆周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。 求这时绳和竖直方向所成的角度。 y 解：以小球为研究对象，对 FT 其进行受力分析： FT cos 小球的运动情况，竖直方 FT 向平衡，水平方向作匀速圆 O FT sin x 周运动，建立坐标系如图。 m mg 将拉力沿两轴进行分解 ， 竖直方向的分量与重力平衡， mg 水平方向的分量提供向心力。 利用牛顿定律，列方程：
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四、牛顿定律应用举例
•已知力求运动 两类力学问题： •已知运动求力 桥梁是加速度 a 解题步骤：十六字诀 隔离物体——明确研究对象 具体分析——研究对象的运动情况和受力情 况，作出受力图 选定坐标——参考系、坐标系、正方向 建立方程——分量式 2
d vx d x Fx max m m 2 dt dt d vy d2 y Fy may m m 2 dt dt d vz d2 z Fz maz m m 2 dt dt