北师大版八年级下第一章第四节

北师大版八年级下第一章第四节：

角平分线（二）

一、学生知识状况分析

1、通过一年半几何的系统学习，对简单的逻辑推理论证，学生已经基本掌握，最拿手的就是全等三角形判定与性质的运用。问题也往往出在这儿，通过全等得到的结论，要学会直接使用。

2、通过上节课的学习，学生通过推理论证得到角平分线性质定理和逆定理，经过一定题量的训练对上述互逆定理均有很深的了解和理解。本节主要是通过内心和例题来巩固、强化此两互逆定理的应用，提高学生证明推理证明能力。

二、教学任务分析

教学目标：

1．知识目标：

（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

2．能力目标：

（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．

3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点与难点：

重点：①三角形三个内角的平分线的性质．

②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．

难点：

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：折纸游戏，创设情境：

第二环节：尺规作图，自主猜想；

第三环节：展示思维，探其究竟；

第四环节：例题讲解，巩固新知；

第五环节：及时小结，拓展训练；

第六环节：课堂小测，作业布置。

第一环节：折纸游戏，创设情境：

让学生把准备好的三角形拿出来，分别折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么特点。

第二环节：尺规作图，自主猜想；

让学生动手用直尺和圆规画一个三角形，然后画出这个三角形的三条角平分线，观察这三条角平分线有什么特点，和折出来的三条角平分线是不是有类似的特征?老师此时提醒学生和三角形三条线段垂直平分线的性质类比思考。要求学生动手画图，训练学生的作图技能。让学生说出他们的猜想，体会类比的好处。

第三环节：展示思维，探其究竟；

肯定学生的发现，鼓励动脑思考。提问：为了使你们的猜测站得住脚，还需要干什么? 让学生已经明白猜想证明必要性。

老师给出已知、证明和图形，留出时间和空间让学生思考问题如何解决，不要代替学生思考，培养学生的思维能力。确认大部分学生已经找到证明的思路之后，以小组为单位在小组黑板上集体完成证明过程。

老师用微课展示思维和证明过程，讲解三角形三条角平分线的性质定理。利用学生小组的黑板展示指出学生的错误，修正修正表述不规范的地方，给其他同学作示范。

已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交

于点P ，

求证：P 点在∠B AC 的角平分线上．

证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中

D 、

E 、

F 是垂足．

∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，

∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE =PF ．

∴PD =PF ． ∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

第四环节：例题讲解，巩固新知；

[例1]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．

(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长；

(2)求证：AB=AC+CD ．

分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证

明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，

并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出

BC 的长，而BC=CD+DB ，CD=4 cIn ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE ．

D F

E M N C B A P A D B E C

l 3l 21l C

B A 对这道综合性比较强的题目，部分学生一时感到难以入手。对于第一问，有的可能想用勾股定理来计算，但AD 的长度未知，因此行不通。在老师的提示下，分析条件和结论，思考它们分别可以推导出什么结论、都需要什么条件?联想比较好的同学的做法基本可以找到思路，初步解决了问题的学生回答老师的问题，不够严密的地方在自己和老师同学的帮助下纠正过来；没有找到和没有完全解决问题的学生受到启发；同学们通过听讲、记笔记。体会老师的思路，对用分析法和综合法解决问题产生感性认识。

第五环节：及时小结，拓展训练；

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

学生背诵所得结论，再翻阅课本比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的有关结论，寻找相似点和不同之处。

知识拓展：如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的

公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相

等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?

学生讨论，教师讲评。

第六环节：课堂小测，作业布置。