复合型裂纹准则

复合型裂纹准则
实际的裂纹往往是张开型和滑移型（I 、II ）并存或张开型和撕开型（I 、III ）并存。

Irwin 断裂准则不能简单地用于复合型裂纹问题（Irwin 的K 准则理论假定裂纹按原方向开裂）
1）I 、III 型裂纹一般按原方向开裂 2）II 型裂纹一般不按原方向开裂 3）复合型裂纹一般不按原方向开裂
复合型裂纹要解决的问题 1）裂纹沿什么方向开裂 2）裂纹在什么条件下开裂
1．最大切向应力准则（Erdogan and Sih, 1963） I 、II 复合型裂纹尖端应力场
⎪⎭⎫
⎝⎛-=
23sin 2sin 12cos 2θθθπσr
K I
x
⎪⎭⎫
⎝⎛+-
23cos 2cos 22sin 2θθθπr
K II
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
23sin 2sin 12cos 2θθθπσr
K I
y
23cos 2cos 2sin 2θ
θ
θ
πr
K II
+
23cos 2sin 2cos 2θθθπτr
K I
xy =
⎪⎭⎫
⎝⎛-+
23sin 2sin 12cos 2θθθπr
K II
转化为极坐标形式
θθτθσθσσcos sin 2sin cos 22xy y x r ++= θθτθσθσσθcos sin 2cos sin 22xy y x -+=
)sin (cos cos sin )(22θθτθθσστθ-+--=xy y x r
θθsin cos v u u r += θθθcos sin v u u +-= 得： 2sin )1cos 3(2212cos )cos 3(221
θ
θπθθπσ-+-=
II I r K r K r
2cos ]sin 3)cos 1([221θ
θθπσθII I K K r
-+=
2cos )]1cos 3(sin [221
θ
θθπτθ-+=
II I r K K r 最大切向应力准则的基本假设 1）裂纹沿最大切向应力σ
θmax
的方向开裂
2）此方向的切向应力达到临界值时裂纹 扩展
假设1要求开裂角σ
θ
满足
0=∂∂θσθ， 02
2
<∂∂θ
σθ
0)1cos 3(sin =-+θθII I K K
x
y
22
22420983cos II
I II
I I II K
K K K K K +++=
θ
该方向上的切向应力
r
K K K r
II I πθθθπσθθ22cos ]sin 23
2cos [21000
2
=
-=
K θ：等效应力强度因子
假设2认为切向应力达到临界值σθC
时裂纹失稳，而临界值σ
θC
由I 型条件给
出
IC II I K K K K =-
=2
cos ]sin 23
2
cos [000
2
θθθθ 将复合型裂纹转化为当量I 型裂纹问题 讨论
1）纯I 型，K II = 0，简化为K I = K IC
2）纯II 型，K I = 0，开裂角θ0 = -70.50，起裂条件
IC IC II K K K 866.02
3
≈≥
与实验结果基本相符
最大切向应力准则在K II 较小时与实验结果较为一致
2．无限板中斜裂纹
图示含穿透斜裂纹无限大板，沿裂纹面
βσσ2sin =y ， ββστcos sin =xy
相应的应力强度因子
σ
βπσπσ2sin a a K y I == ββπσπτcos sin a a K xy II == 开裂角θ0
β
β
ββθ2
2220cos 81cos 8sin cos cos +++= 断裂发生的临界条件为
IC K a K =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0020
sin cos 232cos sin sin 2cos θβθββθπσθ
3．应变能密度因子准则（Sih, 1972）
应变能密度因子准则（S 准则）综合考虑了裂纹尖端六个应力分量（σx ，σy ，σz ，τ
xy
，τ
xz
，τ
yz
）的作用而提出的裂纹失稳判据。

应力分量
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23cos 2cos 22sin 223sin 2sin 12cos 2θθθθθθσr k r k II I
x
23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 2θθθθθθσr k r k II I
y +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
2sin 222cos 22θυθυ
σr
k r k II I z -=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=
23sin 2sin 12cos 223cos 2sin 2cos 2θθθθθθτr k r k II I
xy
2
sin
2θ
τr k III xz -
=
2cos 2θ
τr
k III
yz =
式中：π
i
i K k =
（i = I ，II ，III ）
应变能密度由下式计算
)()(21222x z z y y x z y x E E w σσσσσσυσσσ++-++=)(12
22xz yz xy E
τττυ++++ r
S =
式中：2
33222122112III
II II I I k a k a k k a k a S +++= )cos )(cos 1(111θθυ
-++=
k E a θθυsin )]1(cos 2[8112--+=k E a
)]1cos 3)(cos 1()cos 1)(1[(8122-++--+=θθθυk E a
E a 2133υ+=
υυ+-=13k 平面应力，υ43-=k 平面应变
S 准则的基本假设
1）裂纹沿S 的极小值方向扩展
0=∂∂θS
，022>∂∂θ
S 可确定开裂角θ0
2）S min 达到临界值S C 时裂纹失稳 S min = S(θ0) = S C
与G IC 、K IC 类似，S C 是材料常数，由此可建立S C 与K IC 的定量关系 a ）纯I 型裂纹
第一个条件得出：θ0 = 0
第二个条件得出：C IC
S E
K =-+)21)(1(22
υυπ
即：应用S 准则时只需测出K IC b ）纯II 型裂纹
第一个条件得出：3
21cos 0υ
θ-=
开裂角与材料常数相关，υ = 1/3，θ0 = -83.620
第一个条件得出：C IIC S K E =--+2
26])1(2)[1(πυυυ
得： IC IIC K K 2
)1(2)
21(3υ
υυ---=
υ = 1/3，K IIC = 0.905K IC
4．无限板中斜裂纹
βπσπσ2sin a a K y I == ββπσπτcos sin a a K xy II == 0=III K
得： βββββσ2222122112sin )cos cos sin 2sin (a a a a S ++= 开裂角：02sin )(2sin 2)2sin()21(2000=-----θβθβθυ 由条件2可得出临界条件
5．应变能释放率准则（G 准则） 假设：
1）裂纹沿应变能释放率最大的方向扩展
0=∂∂θθG ， 02
2<∂∂θθ
G 2）裂纹扩展条件为沿此方向上的应变能释放率达到临界值
IC G G ==0
θθθ
极坐标形式裂纹尖端的应力（略）和位移
σ
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--+=
23cos 2cos )12(22)1(θθπυk K E r u I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---23sin 32sin )12(θθk K II
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++-+=
23sin 2sin )12(22)1(θθπυk K E
r v I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-23cos 32cos )12(θθk K II
υ
υ
+-=
13k （平面应力）， υ43-=k （平面应变） 仅考虑裂纹开始扩展的瞬间，则分支裂纹尖端区域的应力场近似等于原裂纹的尖端应力场，则
)(4)
1)(1(2
020II I K K E
k G +++=
υπθ
0I K ，0II K ：裂纹开始扩展时分支裂纹尖端的应力强度因子
]sin 3)cos 1([2
cos 21
0000θθθII I I K K K ++=
)]1cos 3(sin [2
cos 21
0000-+=
θθθII I II K K K 由条件1、2可得到开裂角和临界条件
6．复合型断裂的工程经验公式 1）K I -K II 复合型
由图1实验结果，采用偏于安全的方法得出
K I +K II = K IC
2）K I -K III 复合型 图2所示实验结果
12
2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛IIIC
III IC
I
K K K K 位于实验结果的下限，偏于安全。

图1 图2。