中科院计算流体力学最新讲义CFD2020第5讲差分方法3
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•双曲型守恒方程
•特点： 沿特征线
， u不变
•特征线未相交— —总变差不变
•特征线相交—— 总变差减小
•结论： 单个双曲型方程，总变差不增 •（Total Variation Diminishing： TVD）
•j= 1
•j=N 单调函数
•振荡函数
by Li Xinliang
•2 概念： 单调格式、保单调格式与TVD格式 •j=
•二阶迎风
•二阶中心
by Li Xinliang
•新格式 ：
•根据Harten定理，可知 •时，可满足TVD性质
•(2) 精度条件
•显然
格式为2 阶中心
•可验证： 格式为2阶迎风
•二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•限制器（limiter)
•2阶中心 的修正量
•2阶迎风 的修正量
•精度高，但有些情况下预 测结果“不靠谱”
•作为“标杆”检 验高阶修正量是 否可用
•趋势相反时，不可用； •相差超过2倍时，不可用
by Li Xinliang
•2 以 L-W格式为基础改造的格式
•历史上，TVD格式是在Roe、L-W、B-M （或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•很难计算对粘性敏感的问题
解
•改进措施：
•
A: 局部施加人工粘性
•
B: 高阶人工粘性
•分离流—— 对粘性敏感
•Von Neumann
•MacCormack
•转捩——对粘性敏
by Li Xinliang
•4) 数值振荡的定量描述—— 总变差
•对于离散函数{uj} 定义总变差: •含义： 反映了振荡的剧烈程度
•含义： • 数值振荡—— 流动尺度为网格尺度 • 网格 Reynolds数小，该尺度的能 量被耗散掉—— 不发生振荡
•网格足够小：不会发生振荡； •网格小于激波的实际厚度，则不会振荡
•j+ •j-1 1
•j
•过于苛刻的条件 •单方向网格点数106， 三维1018
•网格Reynolds数足够小时，物理粘性发挥作用，抑制振荡
•人工粘性
•特点： 全离 散、时刻耦合
•时-空二阶精度
•巧妙添加人工粘性，不但克服了不稳定性，而且抵消了时间误差，提高了时 间精度
•类似方法： Beam-Warming 格 式
•二阶精度迎风差分
•人工粘性，且 提高时间精度
by Li Xinliang
•4. 构建TVD 格式
•思路： 对现有格式进行改造，使之符合Harten条 件
•二者的组合： j-1,j 计算； j,j+1计 算
•1阶迎风
•修正部分
•j-
•j-2
1
•j
•函数 minmod(a,b) • a,b 符号相反，则返回0 • 符号相同，则返回绝对值小的
•j+1
• 选前者：二阶迎风
•j+1/2
•两个修正方案 • 选后者：二阶中心
• 组合之： Formm、3阶迎风
•思路：
•L-W
•引入限制函数 （限制器）
•修正项 •1阶迎风部分
by Li Xinliang
•新格式 ：
• 新格式= 1阶迎风+ j *（LW格式-1阶迎风 ）
•根据Harten定理，可知
•时，可满足TVD性质
•Beam-Warming
•(2) 精度条件
•显然
格式为LW （2 阶）
•可验证： 格式为B-M （2阶）
•Re=2000 Dx=0.0005
•T=0.1时刻的u分布
•现象： Dx一定时，减小Reynolds数可抑制振荡
•
Reynolds数一定时，减小Dx可抑制振荡
•暗示
•是某一特 征量
by Li Xinliang
•对流-扩散方程的特性：
•j-2 j-1 j j+1 j+2
•n+1 •n
•差分方程 ：
2. MUSCL格式不一定都能满足TVD特性； 3. NND格式是一种特殊的MUSCL格式 （k=1,b=1的情况） 4. MUSCL格式在CFD史上有重要贡献
•MUSCL格式开创了利用基本变量重构（而不是利用通量重构）的新思路
•计算
•方法1：利用
计算
•方法2： 利用
•
再利用
计算出 计算出
•实际过程中 ，为了利用迎风技术，还要进行通量分裂
•Van Albada限制器
•a<0 的情况 ，把j+k改成 j-k就可以了
•j
•光滑区
相
差不大，s趋近于1
•间断区
相
差很大，s趋近于0
•光滑区，趋近 3阶迎风
•间断区 ，趋近1
阶迎风
•j •光滑区
相差不大
• 间断区，
• • 相差很大
by Li Xinliang
•关于MUSCL格式的一些注记
• 1. MUSCL格式是一系列格式。可从二阶迎风、二阶中心、 Formm, 三阶迎风等格式经过限制器改造而得到。限制器有 Minmod, Van Albada等多种形式；
• {j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2}
•{j-3,j-2,j-1,j}； {j-2,j-1,j,j+1}； {j-1,j,j+1,j+2}
•五个基架点被分成三个组
by Li Xinliang
•2. WENO格式的原理描述
•注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采 用下一节介绍的守恒形式
•TVD
•单 •保单调调
by Li Xinliang
•3. TVD格式的理论基础—— Harten定理
•Harten定理：
•如果差分格式可写成如下形式：
•且 •则格式（1）是TVD格 式
•保证“系数非负” •（1 ）
•含义：“单调格式必是 TVD格式”
•可验证： Roe格式是TVD格式
by Li Xinliang
•考虑线性单波方程 ：
•计 算
•（1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2}
•
构造出该基架点上的目标差分格式
•这6个点可构造5阶迎风差分：
•该格式为WENO 的“目标”格式， •即， 光滑区WENO 逼近于该格式。
•利用Taylor展开，可唯一确定系数 （ 可利用小程序coeff-schemes.f )
•实际上，还可利用分辨率优化技术，可构造出新的目 标格式（降低精度、提高分辨率，见第4讲）。目前大
量WENO的优化版做这种工作。
by Li Xinliang
(2) 将这6个基架点分割成3个组（称为模板
•LW, BM均为线性格式， 二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•§ 5.2 其他激波捕捉格式简介
•1. Godnov格式
•思路： 利用精确Riemann解 •难点： 精确Riemann解要求间断两侧物理量为常数 •对策： 采用分片常数代替原先的函数
1
•单调格式：
•j=N
•格式： •如果满足
•
•保单调格式：
则称其为单调格式。
单调格式
•n时刻： 单调函数
•保单调格式 •j= 1
•设n时刻 是单调的，如果n+1时刻的解 仍保证单调，则称该格式为保单调格式。
•TVD格式 • 总变差不增
•j=N
•n+1时刻： 仍是单调函 数
•基本结论： • 常系数的单调格式只能是一阶 • 单调格式必是保单调的； • 线性格式，单调与保单调等价
•单纯靠物理粘性抑制振荡，网格间距必须足够小，通常难以实现
by Li Xinliang
•3） 人工粘性
• 物理粘性
足够小才发挥作用， Reynolds数很高时很难做到
•思路： 人为增加粘性系数 （添加人工粘性） 抑制振
荡
•优点：方法简便，有抑制振荡效果 •缺点：改变了物理问题，带来误差
•湍流、分离流等—— 对粘性敏感： 非物理
中科院计算流体力学最新讲 义CFD2020第5讲差分方法3
•知识回顾
•1. 差分格式的分辨率
•修正 波数
•2. 群速度控制(GVC)
•有效网格点数： 一个波长里 面的网格点数 （PPW: Point
per Wavelength)
by Li Xinliang
•GVC2 格式
•3. 流通矢量分裂
•“在二阶迎风与二阶中心 格式中选一个” • “选接近一阶迎风的”
…
• 修正部分是由 j-1, j, j+1 三点计算而得， 是 与 的插
值
•
如果两个修正方案趋势（符号）相反，干脆不修正
• 如果趋势相同，则取（绝对值）最小者—— 避免振荡
by Li Xinliang
•推荐方法： •含Van Albada限制器的3阶MUSCL格式
•理论上并 不满足TVD
性质；但实 际效果很好
•j+1/2
•j+1 •j
•j-1
by Li Xinliang
• §5.3 WENO格式 —— 高精度的激波捕捉法
•1. 基本思路
•1） 若高精度逼近 ， 必然利用多个基架点 • 2） 如果该基架点内函数有间断，会导致振荡 • 3） 间断不可能处处存在 • 4） 把基架点分成多个组（模板）， • 每个模板独立计算j点导数的逼近。 • —— 得到多个差分 • 5）根据每个模板的光滑程度，设定权重 • 6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越 高，权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋 于0； •如果都光滑，则组合成更高阶格式。
•思路： 物理问题—— 有粘； 物理粘性足以克服本身振荡
•
•
数值方法错误计算了物理粘性——不足以克服振荡
by Li Xinliang
•数值实验
• 二阶中心差分
•相同
•计算域[0,1], •网格点201 （Dx=0.005 ） •时间步长Dx=0.0005
•Re=200 Dx=0.005
•Re=2000 Dx=0.005
by Li Xinliang
•§ 5.1 非物理振荡及TVD格式
•1. 数值解中的非物理振荡
•1） 非物理振荡的原因分
析 •理论1：色散误差导致各波
•间断附
传播速度不同 （第4讲）
近非物理
振荡的根 源
•理论2：粘性耗散不足
•理论3： 格式不能保单调
•物理问题本身也可能振荡。但如 果错误计算物理粘性，则会错误 地加剧（或衰减）振荡。
•原格式（2阶） = 1阶迎风+ 修正项
• 新格式= 1阶迎风+ 限制函数*修正项
•通常在Roe、L-W、B-M （ 或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•1. 以二阶中心及二阶迎风格式为基础的改造
•2个候 选格式 ：
•改造、新格式
•2阶迎风 •2阶中心
•思路1： • 两个里面选一个 (GVC2, NND2) • 思路2： • 利用二者的组合
by Li Xinliang
•2. MUSCL格式 （Van Leer）
•k=-1
•k=0
•1阶迎风 •修正部分
•k=1 •k=1/3
•思路： • 振荡由修正项引起，需要对修正项进行限制
•二阶迎风 •Formm格式
二阶中心 三阶迎风
•间断处都会产生振荡
by Li Xinliang
•旧格式
•新格式
•某点的值是上一时刻周围几个点上值的线性组合
•物理上要求系数 ak 均非负
•含义： 某处浓度的增加对下一 时刻周围浓度的影响为正。
•差分方程单调性（无振荡）条件： 差分方程 （1）中的系数非负
•网格Reynolds数
by Li Xinliang
•2） 重要概念： 网格 Reynolds 数 • 以网格尺度度量的Reynolds数
•二阶中心 •二阶迎风
•GVC2与NND2格式的限制器
•GVC2 格式
•NND2 格式
by Li Xinliang
•常用的限制器
•其他： 如Van Albada
•Superbee型 •Van Leer型
•Minmod 型；
by Li Xinliang
•概念：保单调区
•1阶迎风的 预测值
•精度差，但 鲁棒性好
• 4） 重复1-3，直到指定时刻。
• j-1 j j+1
•
间断1 间断2 间断3 ……
•2. NND 格式
•“在二阶迎风与二阶中心 格式中选一个” • “选接近一阶迎风的” • 如果二阶中心与二阶迎 风给出的修正趋势相反， 干脆不修正。
•Minmod(a,b) : a,b 符号相同时，取绝对值小的；符号相反时，取0.
•方法：
• 1） 采用分片常数代替原先的函数
•
即假设[xj-1/2, xj+1/2] 区间物理量为xj点上的值
• 2） 在每个间断处，精确求解Riemann问题，得
到Dt时刻物理量的分布。 （假设Dt足够小，各间断
之间无相互影响，因此可独立求解）。
• 3） 在区域[xj-1/2, xj+1/2] 上平均，得到Dt时刻xj •点上物理量的值。
•例7.2.1： •考虑线性单波方程 ：
•常系数的单调格式—— 只有一阶精度
•试讨论如下 Lax-Wendroff 格式
•二阶中心
•人工粘性
•是否满足Harten条件
•对比条件 ： •不满足Harten 条件
by Li Xinliang
•知识回顾： Lax-Wendroff 格式
•Taylor展开， 写出修正方程
•特点： 沿特征线
， u不变
•特征线未相交— —总变差不变
•特征线相交—— 总变差减小
•结论： 单个双曲型方程，总变差不增 •（Total Variation Diminishing： TVD）
•j= 1
•j=N 单调函数
•振荡函数
by Li Xinliang
•2 概念： 单调格式、保单调格式与TVD格式 •j=
•二阶迎风
•二阶中心
by Li Xinliang
•新格式 ：
•根据Harten定理，可知 •时，可满足TVD性质
•(2) 精度条件
•显然
格式为2 阶中心
•可验证： 格式为2阶迎风
•二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•限制器（limiter)
•2阶中心 的修正量
•2阶迎风 的修正量
•精度高，但有些情况下预 测结果“不靠谱”
•作为“标杆”检 验高阶修正量是 否可用
•趋势相反时，不可用； •相差超过2倍时，不可用
by Li Xinliang
•2 以 L-W格式为基础改造的格式
•历史上，TVD格式是在Roe、L-W、B-M （或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•很难计算对粘性敏感的问题
解
•改进措施：
•
A: 局部施加人工粘性
•
B: 高阶人工粘性
•分离流—— 对粘性敏感
•Von Neumann
•MacCormack
•转捩——对粘性敏
by Li Xinliang
•4) 数值振荡的定量描述—— 总变差
•对于离散函数{uj} 定义总变差: •含义： 反映了振荡的剧烈程度
•含义： • 数值振荡—— 流动尺度为网格尺度 • 网格 Reynolds数小，该尺度的能 量被耗散掉—— 不发生振荡
•网格足够小：不会发生振荡； •网格小于激波的实际厚度，则不会振荡
•j+ •j-1 1
•j
•过于苛刻的条件 •单方向网格点数106， 三维1018
•网格Reynolds数足够小时，物理粘性发挥作用，抑制振荡
•人工粘性
•特点： 全离 散、时刻耦合
•时-空二阶精度
•巧妙添加人工粘性，不但克服了不稳定性，而且抵消了时间误差，提高了时 间精度
•类似方法： Beam-Warming 格 式
•二阶精度迎风差分
•人工粘性，且 提高时间精度
by Li Xinliang
•4. 构建TVD 格式
•思路： 对现有格式进行改造，使之符合Harten条 件
•二者的组合： j-1,j 计算； j,j+1计 算
•1阶迎风
•修正部分
•j-
•j-2
1
•j
•函数 minmod(a,b) • a,b 符号相反，则返回0 • 符号相同，则返回绝对值小的
•j+1
• 选前者：二阶迎风
•j+1/2
•两个修正方案 • 选后者：二阶中心
• 组合之： Formm、3阶迎风
•思路：
•L-W
•引入限制函数 （限制器）
•修正项 •1阶迎风部分
by Li Xinliang
•新格式 ：
• 新格式= 1阶迎风+ j *（LW格式-1阶迎风 ）
•根据Harten定理，可知
•时，可满足TVD性质
•Beam-Warming
•(2) 精度条件
•显然
格式为LW （2 阶）
•可验证： 格式为B-M （2阶）
•Re=2000 Dx=0.0005
•T=0.1时刻的u分布
•现象： Dx一定时，减小Reynolds数可抑制振荡
•
Reynolds数一定时，减小Dx可抑制振荡
•暗示
•是某一特 征量
by Li Xinliang
•对流-扩散方程的特性：
•j-2 j-1 j j+1 j+2
•n+1 •n
•差分方程 ：
2. MUSCL格式不一定都能满足TVD特性； 3. NND格式是一种特殊的MUSCL格式 （k=1,b=1的情况） 4. MUSCL格式在CFD史上有重要贡献
•MUSCL格式开创了利用基本变量重构（而不是利用通量重构）的新思路
•计算
•方法1：利用
计算
•方法2： 利用
•
再利用
计算出 计算出
•实际过程中 ，为了利用迎风技术，还要进行通量分裂
•Van Albada限制器
•a<0 的情况 ，把j+k改成 j-k就可以了
•j
•光滑区
相
差不大，s趋近于1
•间断区
相
差很大，s趋近于0
•光滑区，趋近 3阶迎风
•间断区 ，趋近1
阶迎风
•j •光滑区
相差不大
• 间断区，
• • 相差很大
by Li Xinliang
•关于MUSCL格式的一些注记
• 1. MUSCL格式是一系列格式。可从二阶迎风、二阶中心、 Formm, 三阶迎风等格式经过限制器改造而得到。限制器有 Minmod, Van Albada等多种形式；
• {j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2}
•{j-3,j-2,j-1,j}； {j-2,j-1,j,j+1}； {j-1,j,j+1,j+2}
•五个基架点被分成三个组
by Li Xinliang
•2. WENO格式的原理描述
•注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采 用下一节介绍的守恒形式
•TVD
•单 •保单调调
by Li Xinliang
•3. TVD格式的理论基础—— Harten定理
•Harten定理：
•如果差分格式可写成如下形式：
•且 •则格式（1）是TVD格 式
•保证“系数非负” •（1 ）
•含义：“单调格式必是 TVD格式”
•可验证： Roe格式是TVD格式
by Li Xinliang
•考虑线性单波方程 ：
•计 算
•（1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2}
•
构造出该基架点上的目标差分格式
•这6个点可构造5阶迎风差分：
•该格式为WENO 的“目标”格式， •即， 光滑区WENO 逼近于该格式。
•利用Taylor展开，可唯一确定系数 （ 可利用小程序coeff-schemes.f )
•实际上，还可利用分辨率优化技术，可构造出新的目 标格式（降低精度、提高分辨率，见第4讲）。目前大
量WENO的优化版做这种工作。
by Li Xinliang
(2) 将这6个基架点分割成3个组（称为模板
•LW, BM均为线性格式， 二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•§ 5.2 其他激波捕捉格式简介
•1. Godnov格式
•思路： 利用精确Riemann解 •难点： 精确Riemann解要求间断两侧物理量为常数 •对策： 采用分片常数代替原先的函数
1
•单调格式：
•j=N
•格式： •如果满足
•
•保单调格式：
则称其为单调格式。
单调格式
•n时刻： 单调函数
•保单调格式 •j= 1
•设n时刻 是单调的，如果n+1时刻的解 仍保证单调，则称该格式为保单调格式。
•TVD格式 • 总变差不增
•j=N
•n+1时刻： 仍是单调函 数
•基本结论： • 常系数的单调格式只能是一阶 • 单调格式必是保单调的； • 线性格式，单调与保单调等价
•单纯靠物理粘性抑制振荡，网格间距必须足够小，通常难以实现
by Li Xinliang
•3） 人工粘性
• 物理粘性
足够小才发挥作用， Reynolds数很高时很难做到
•思路： 人为增加粘性系数 （添加人工粘性） 抑制振
荡
•优点：方法简便，有抑制振荡效果 •缺点：改变了物理问题，带来误差
•湍流、分离流等—— 对粘性敏感： 非物理
中科院计算流体力学最新讲 义CFD2020第5讲差分方法3
•知识回顾
•1. 差分格式的分辨率
•修正 波数
•2. 群速度控制(GVC)
•有效网格点数： 一个波长里 面的网格点数 （PPW: Point
per Wavelength)
by Li Xinliang
•GVC2 格式
•3. 流通矢量分裂
•“在二阶迎风与二阶中心 格式中选一个” • “选接近一阶迎风的”
…
• 修正部分是由 j-1, j, j+1 三点计算而得， 是 与 的插
值
•
如果两个修正方案趋势（符号）相反，干脆不修正
• 如果趋势相同，则取（绝对值）最小者—— 避免振荡
by Li Xinliang
•推荐方法： •含Van Albada限制器的3阶MUSCL格式
•理论上并 不满足TVD
性质；但实 际效果很好
•j+1/2
•j+1 •j
•j-1
by Li Xinliang
• §5.3 WENO格式 —— 高精度的激波捕捉法
•1. 基本思路
•1） 若高精度逼近 ， 必然利用多个基架点 • 2） 如果该基架点内函数有间断，会导致振荡 • 3） 间断不可能处处存在 • 4） 把基架点分成多个组（模板）， • 每个模板独立计算j点导数的逼近。 • —— 得到多个差分 • 5）根据每个模板的光滑程度，设定权重 • 6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越 高，权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋 于0； •如果都光滑，则组合成更高阶格式。
•思路： 物理问题—— 有粘； 物理粘性足以克服本身振荡
•
•
数值方法错误计算了物理粘性——不足以克服振荡
by Li Xinliang
•数值实验
• 二阶中心差分
•相同
•计算域[0,1], •网格点201 （Dx=0.005 ） •时间步长Dx=0.0005
•Re=200 Dx=0.005
•Re=2000 Dx=0.005
by Li Xinliang
•§ 5.1 非物理振荡及TVD格式
•1. 数值解中的非物理振荡
•1） 非物理振荡的原因分
析 •理论1：色散误差导致各波
•间断附
传播速度不同 （第4讲）
近非物理
振荡的根 源
•理论2：粘性耗散不足
•理论3： 格式不能保单调
•物理问题本身也可能振荡。但如 果错误计算物理粘性，则会错误 地加剧（或衰减）振荡。
•原格式（2阶） = 1阶迎风+ 修正项
• 新格式= 1阶迎风+ 限制函数*修正项
•通常在Roe、L-W、B-M （ 或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•1. 以二阶中心及二阶迎风格式为基础的改造
•2个候 选格式 ：
•改造、新格式
•2阶迎风 •2阶中心
•思路1： • 两个里面选一个 (GVC2, NND2) • 思路2： • 利用二者的组合
by Li Xinliang
•2. MUSCL格式 （Van Leer）
•k=-1
•k=0
•1阶迎风 •修正部分
•k=1 •k=1/3
•思路： • 振荡由修正项引起，需要对修正项进行限制
•二阶迎风 •Formm格式
二阶中心 三阶迎风
•间断处都会产生振荡
by Li Xinliang
•旧格式
•新格式
•某点的值是上一时刻周围几个点上值的线性组合
•物理上要求系数 ak 均非负
•含义： 某处浓度的增加对下一 时刻周围浓度的影响为正。
•差分方程单调性（无振荡）条件： 差分方程 （1）中的系数非负
•网格Reynolds数
by Li Xinliang
•2） 重要概念： 网格 Reynolds 数 • 以网格尺度度量的Reynolds数
•二阶中心 •二阶迎风
•GVC2与NND2格式的限制器
•GVC2 格式
•NND2 格式
by Li Xinliang
•常用的限制器
•其他： 如Van Albada
•Superbee型 •Van Leer型
•Minmod 型；
by Li Xinliang
•概念：保单调区
•1阶迎风的 预测值
•精度差，但 鲁棒性好
• 4） 重复1-3，直到指定时刻。
• j-1 j j+1
•
间断1 间断2 间断3 ……
•2. NND 格式
•“在二阶迎风与二阶中心 格式中选一个” • “选接近一阶迎风的” • 如果二阶中心与二阶迎 风给出的修正趋势相反， 干脆不修正。
•Minmod(a,b) : a,b 符号相同时，取绝对值小的；符号相反时，取0.
•方法：
• 1） 采用分片常数代替原先的函数
•
即假设[xj-1/2, xj+1/2] 区间物理量为xj点上的值
• 2） 在每个间断处，精确求解Riemann问题，得
到Dt时刻物理量的分布。 （假设Dt足够小，各间断
之间无相互影响，因此可独立求解）。
• 3） 在区域[xj-1/2, xj+1/2] 上平均，得到Dt时刻xj •点上物理量的值。
•例7.2.1： •考虑线性单波方程 ：
•常系数的单调格式—— 只有一阶精度
•试讨论如下 Lax-Wendroff 格式
•二阶中心
•人工粘性
•是否满足Harten条件
•对比条件 ： •不满足Harten 条件
by Li Xinliang
•知识回顾： Lax-Wendroff 格式
•Taylor展开， 写出修正方程