江苏大学常微分方程教案

1.1 引 言

[教学内容] 1. 介绍方程0a 0,c x b x a 2

≠=++基本问题; 2.介绍代数方程组

22ij )(a A ,b x A ⨯==

基本问题;

3. 引入物理、生态中微分方程模型及其关心的问题;

4. 介绍本课程基本问题及其内容安排和考核目标.

[教学重难点] 重点是知道微分方程基本问题，难点是如何根据实际问题建微分方程模型. [教学方法] 自学1、2、讲授3、4，课堂练习 [考核目标]

1. 会求解一元二次方程; 会求出一元三次方程所有有理根;

2. 会求出线性齐次代数方程组基本解系;

3. 会用微元法和导数的物理和几何意义建立微分方程模型.

1. 代数方程的相关准备:

例1. (1) 求解0652

=++x x ，2

6

4552⋅-±-=x , 解得3,221-=-=x x .

例2. 考察0βx 2

=+，假设参数β可以变动，则0β<时，方程有两个实根，0β>时，方

程没有实根，0β=时，方程恰有一个实根，因此0β=是一个分支点，参数β由正变动到零再到负数时，方程根的个数发生了变化；而1β=就不是一个分支点。

例3. 如何不通过求解0βx αx 2

=+⋅+，其中R βα,∈来获得解的实根个数及其符号？ 设21λ,λ为方程两个根，则0βx αx )λ(x )λ(x 2

21=+⋅+=-⋅-，于是得到

βλλa,λλ2121=⋅-=+，再结合4βαΔ2-=符号.即可

作业：1. 在βα,平面上画出不同β)(α,点下，方程0βx αx 2

=+⋅+根分布.

例4. 求解 -6+11 x-6 x 2

+x 3

= 0 , 根据《高等代数》P32定理12, 进行如下试解. 3

x 系

数为1，常系数为-6,于是有理根候选点为3,2,1±±±，经代入验证得到， (x-3) (x-2) (x-1)0.

例5. 求解 -2+x 2+x 3

0 , 如果能找到一个有理根，则可转化为一元二次方程。

根据《高等代数》P32定理12, 进行如下试解. 3

x 系数为1，常系数为-2于是有理根候选点为2,1±±，经验证1为方程一个根；再由辗转相除法得到 -2+x 2

+x 3

= (x-1)(x^2+2x+2)于是得到方程的根为1,1,1321=--=+-=x i x i x . 作业：2. (1) 求解 2+4 x+3 x 2

+x

3

0.

(2) 求解方程 -2+7 x-7 x 2+2 x 3

0.

思考：如何求解方程 2 -2 x- x 2

+x 3

0，如何获得方程实根个数，如何得到实根近似值？ 思路：1. 一元三次方程的卡当公式、盛金公式(一元五次方程呢？) 几何方法： 2. 数值方法：二分法、牛顿切线法

2. 线性代数方程组的相关准备：

例6. 求解线性非齐次代数方程组 -1+x+5 y=0， -2+2 x+y=0.

解：改写为 b x A =，系数行列式 A= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1251，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=21b ,y x x . 由克莱姆法则（参见《高等代数》P83定理4）得到

090

1

251221

1y 1,991251125

1x =-===--==

. 练习：3. 求解代数方程组 -1+2 x+3 y=0， -2+3 x+y=0.

例7. 求解线性齐次代数方程组 x+2 y+z=0, 2 x+y-z=0, 2 x+4 y+2 z=0.

解：改写为b x A

=，再由初等行变换（参见《高等代数》P111定理1及例题）可得，方程

组基础解系为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=111ξ ，而方程组通解c ,ξ c x

=为任意常数.

例8. 求出矩阵 A= ⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛1221的特征值和相应的特征向量，并求出N n ,A n ∈. 解：A 的特征多项式为)1)(3(-12

2-1|λE A |+-==

-λλλ

λ，

于是特征值为3,121-=-=λλ。（参见《高等代数》P298定义及例题）

211234105

510

当11-=λ时，求解0x E)λ(A 1

=-，解得基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11ξ1 ；

当31=λ时，求解0x E)λ(A 2

=-，解得基础解系为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=11ξ2 .

改写0 E)λ(A i i

=-ξ为1,2i ,ξλξA i i i == ，再次用分块矩阵改写为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=212121λλ , )ξ ,ξ()ξ ,ξA( . 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11-11)ξ ,ξ(P 21 ，于是Λ P AP =，或-1

P Λ P A =. ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-==2/12/12/12/121111|P |P P *

1

-，（伴随矩阵和逆矩阵参见《高等代数》P176定义9和定理3）， 1)(31)(31)(31)(321P 3(-1 P P Λ P P Λ P P Λ P P Λ P A n n n n n n n n 1-n n

1

-n

1

-1

-1

-n

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===）

. 练习4. 求出矩阵 A= ⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛2112的特征值和相应的特征向量，并求出N n ,A n ∈. 练习5. 讨论参数a,b 取何值时，方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=++4z y 2b x 3z y b x 4

z y x a 有解，并求出解来？（参见《高

等代数》第三章习题17（3））

思考：考察线性非齐次代数方程组b x A

=，

其中x

为10000个未知数构成向量，A 为10000阶方阵，如何求解？高斯消元法，初等行变换解法可行吗？ 数值上采用迭代法求解方法。

例9. 关于非线性代数方程组 0202y x 0,102x y 2

2

=--=--解的个数？（参见《高等代数》P150定理10和例题）

小结： 代数方程基本问题：方程根的求解、根个数定性分析、根的数值求解

3. 微分方程模型

导数的物理意义是瞬时变化率，或速度，几何意义是平面曲线上点的切线斜率（参见《数学分析上》P87），二阶导数就是速度的变化率，也就是加速度. 由牛顿运动定律知，物体运

动的加速度等于所受的合力，即F x m =，其中F ,x m, 分别表示物体质量、位置和合力，

2

2dt (t)x d x

=运动的加速度。