函数不等式有解与恒成立问题

课程：函数不等式的恒成立与有解问题

讨论含参数方程解的问题的主要方法

方程()f x a =的解可以看成两个函数(),y f x y a ==的交点横坐标

（1）已知一元二次方程两解的具体分布情况可用一元二次方程根的分布求解

（2）方程()f x a =在x D ∈上解的个数即两个函数(),y f x y a ==在x D ∈上的交点个 数利用参变量分离加数形结合解决。

（3）方程()()f x g x =（其中()(),y f x y g x ==是两个不同类型的函数）也可通过研究两个函数()(),y f x y g x ==的交点来解决。

不等式恒成立问题

不等式()()f x g x >反映的是两个函数()(),y f x y g x ==图像的位置关系

（1）函数思想

()0f x >在x D ∈上恒成立，即()min 0x D f x ∈>

()0f x <在x D ∈上恒成立，即()max

0x D f x ∈<

（2）参变量分离 ()f x a >在x D ∈上恒成立，即()min

x D f x a ∈> ()f x a <在x D ∈上恒成立，即()max

x D

f x a ∈< （3）数形结合 ()()f x

g x >在x D ∈上恒成立，即在x D ∈上()y f x =的图像始终在()y g x =图像上 方。

二、例题分析

例1、（1）若关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数解，求实数a 的取值范围。

（2）若关于x 的方程()193650x x k k k +⋅-⋅+-=在[]0,2x ∈上有实数解，求实数k 的取

练习1、若关于x 的方程4230x x k k -⋅++=只有一个实数解，求实数k 的取值范围（有 两解、无解、有解）

例2、实数a 取何值时，方程()()()lg 1lg 3lg 1x x ax -+-=-有一解、两解、无解？

练习2、当a 满足什么条件时，方程()()2lg 20lg 8630x x x a +---=有唯一解。

例3、已知关于x 的不等式14260x x k k +⋅-+<

（1）若不等式的解集为{}21log 3x x <<，求实数k 的值

（2）若不等式的解集为{}21log 3x x <<的子集，求实数k 的取值范围

（3）若不等式对任意{}21log 3x x x ∈<<恒成立，求实数k 的取值范围

练习3、（1）已知二次函数()()2,0f x ax x a R a =+∈≠，如果[]0,1x ∈时，恒有()1f x ≤， 求实数a 的取值范围。

（2）已知不等式()()21130a x a x a -+-+->在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数a 的取值 范围。

（3）已知不等式()()21130a x a x a -+-+->在[]2,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范 围。

（4）已知不等式()()21130a x a x a -+-+->在[]2,2x ∈-上无解，求实数a 的取值范 围。

（5）已知不等式2210mx x m -+-<对任意2m <恒成立，求实数x 的取值范围。

（6）已知函数()()3log 242x x f x a -=+⋅-的定义域为一切实数，求实数a 的取值范围。

1．（1）若0,1a a >≠，关于x 的不等式212

x x a -<

在()1,1x ∈-上恒成立，求实数a 的取

值范围。

（2）若关于x 的不等式2log a x x >在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数a 的取值范围。

2．（1）已知不等式222xy ax y ≤+对于任意[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，求实数a 的值 范围。

（2）关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在区间[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范

围。

2．关于x 的方程()220,1x a x x a a a =-++>≠的解的个数是___________。

3．求实数a 的取值范围，使方程()()2250x a x a --+-=的两个相异实根都大于2。

4．对于函数()y f x =()x D ∈，同时满足以下条件：①()f x 在D 上是单调函数， ②存在区间[],a b D ⊆，其中0ab ≠，使得()f x 在区间[],a b 上的值域也是[],a b ， 则称函数为闭函数。

（1）求闭函数()3f x x =符合条件的区间[],a b 。

（2）判断函数3lg y x x =-是不是闭函数？请说明理由。

（3）若函数y k =是闭函数，求实数k 的取值范围。

1.设函数4()()13f x a g x x ==+，已知[4,0]x ∈-，时恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围.

2. 已知不等式11112log (1)122123a a n n n +++≥-+++对于大于1的正整数n 恒成立，试确定a 的取值范围.

3. 已知函数f (x

（a ＞０，a

(1) 证明函数f (x )的图象关于点P 11,

22⎛⎫ ⎪⎝⎭

(2) 令a n ，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a ,

(3) 求证：1

(1)lg 3(lg !)(4

n n n n +>∈Ｎ).

4. 定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得

()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”

． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”； ②“12

—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）

A ．1个；

B ．2个；

C ．3个；

D ．0个；

5. 对于满足不等式40≤≤p 的实数p ，使得不等式342-+>+p x px x 恒成立，求实数x 的取值范围。

6. 设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅++=n a n n x f x x x ))1(21(lg )(，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且2≥n ，（1）如果)(x f 当(]1,∞-∈x 时有意义，（1）求a 的取值范围；（2）如果(]1,0∈a ，证明：x f x f 2))(2<，当0≠x 时成立.

7. 设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭

恒成立，则实数m 的取值范围是 .