电子能带理论

n k , r 称为布洛赫函数，用它描写的晶格电子也称为布洛赫电子。
重要推论
1. 晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。 2. 只需将k值限制在一个包括所有不等价k的区域求解 薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。
二．第一布里渊区
简正模式的色散关系有一个重要的性质：
一维时 则
fn
nv
的线形组合，即
l TRlnv vv nv ' v'1
平移群的每个算符 T R 通过上式用一个矩阵 vl v ' 表示。 显然，这种矩阵是满足与 T R 相同的乘法规则的，即：
l l
l m p TT T R R R v v ' vv ' ' ' v v ' ' l m p v ' 1
i s 2 n
如上图
5 a
2 k 5 a

5 a 12 `` ，k ` ， 6 5 a
∴k与k‘是同一列格波,是同一个简正模式

2 k ` k a

在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点 阵矢量 G 的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格 波的波矢ｋ限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的 k总可以平移一个G 后用第一布里渊区中的k来等价描述，第 一布里渊区以外k只不过是第一布里渊区中的ｋ的重复和再 现而已。 每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那 么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原 子的真实位移。 在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫 无实际意义的。它对晶体的物理性质（如热学性质等）并没有 什么贡献，而有贡献的只是存在有那些简正模式。
2 H r V r r E r n K S n n n


如果 T
R
l
表示将位矢 r 变到 r + R l 的平移操作算符，就有
T H T E R n R n n l l
H T E T R n n R n l l
l m p
R l R m R p
i p
e
l
i l m
e
可得
l eikR
如果 E n 是 f n 度简并的，即有 f n 个相互正交的本征函数
n 1 , 2 , ,f 属于 E n v n
v
n
那么 T R来自百度文库l 作用于
nv
后得到的函数应为
这就表示，所有的 T R l n
n 与本征函数 具有同样的本征能量
E
n
如果
n
E 是非简并的，即只有一个
n
n
属于E
n
那么除了一个相因子外
T R l
n
应与
n
相同：
T
R
l
的本征值方程。
l T R n n l
且

l 2
1
i
l 可以写成 e i 的形式。再由
有 T 和 RT R T R
主要的对称点： 2 Γ ：2（0， ； H ： ； （1， 0， 0） 0， 0）
f n

l
vv '
也构成一个群，是平移群在以
n
v
基的 f
n
维表示形成的矩阵群。
可用它们的线形组合产生一个新的等价的基。用新的基表示， 上述 矩阵成为对角形式： vl v '
ik R l vv e
v l
于是可得到
l l T R n v v ' n v v n l v v v v ' 1
第五章
电子能带理论
教学目的：
掌握布洛赫波函数、平均速度、有效质量、区分导 体、半导体和绝缘体；了解布拉格反射、各种近似方法。
§1
一．布洛赫定理
布洛赫（Bloch）定理
如果将固体抽象为理想晶体，Kohn-Sham方程
V R r V r K S l+ K S
中的势 V KS r ，具有理想晶体同样的平移对称性，即
当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等， 而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一 步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个 格波。
（ k ） （ G K ） 2 G n （ n 为整数） a 2 （ k ） （ k n ） a

i （ t sk ） a u u （ 0 ） e s
当 k k G 时
u u （ 0 ） e
i ( t s k a ) u ( 0 ) e
2 2? i [ （ k n ） t s （ k n ] a a
u （ 0 ） e
i [ （ k ） t ska ]i 2 s n
. e
因为 ( k ) ( k G )则 e 1 当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同 一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个 格波是同一个格波。
fn
相应地有
l l v v' v v v v'
k 也是一个描写本征函数的量子数。而 n k , r 同时也是哈密顿 算符的本征函数，因此本征值 E n 也依赖于 k ，即：
E n E n k
上述定理用数学形式表示即为
i k R l T k , r k , r R e k , r R n n l n l
Λ ：Γ L轴，三度旋转轴，
波矢取值， 2 （ ， ， ） 0<<1/2； a Σ ：Γ K轴，二度旋转轴， 波矢取值， 2 （，， 0 ） 0< <3/4。
a
体心立方晶格的第一布里渊区
• 体心立方晶格的倒格子是 面心立方格子。本图中用 实心圆点标出了倒格点。 在倒空间中画出它的第一 布里渊区。如果正格子体 心立方体的边长是a，则倒 格子为边长等于4π /a的面 心立方。
简单立方晶格的第一布里渊区
体心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
简单六角结构的第一布里渊区
§5
布里渊区
2维方格子的布里渊区
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
主要对称轴： Δ ：Γ X轴，四度旋转轴， 波矢取值， 2 （， 0， 0 ） 0<δ <1； a