无穷级数求和问题的几种方法-无穷级数求和的方法

目录
摘要 (2)
1无穷级数求和问题的几种方法 (2)
1.1利用级数和的定义求和 (2)
1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3)
1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4)
1.4逐项求极限 (5)
1.5利用Flourier级数求和 (7)
1.6构建微分方程 (9)
1.7拆项法 (9)
1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10)
2总结 (12)
3参考文献 (12)
无穷级数求和问题的几种方法
摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和
无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和
定义[1]
若级数1
n n u ∞
=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1
lim lim n n n n n S u S ∞
→∞
→∞
===∑,
则称级数1
n n u ∞=∑收敛，记为1
n n u S ∞
==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列
{}n S 发散，则称级数1
n n u ∞
=∑发散.
例1 求级数()∑∞
=--1
112n n q n ，1≤q 的和.
解：2311357(21)n n S q q q n q -=++++
+-(1)
2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=++++
+-+- (2)
（1）-（2）得：
1
1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---
12112(21)1(1)1n n
n q q S q n q q q
--=+-----
2
12lim 1(1)n n q
S q q →∞
=
+-- 即级数和
2
121(1)
q S q q =
+--. 2利用函数的幂级数展开式求和
利用函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的幂级数展开式：例
01,!
x
n
n e x x n ∞
==-∞<<+∞∑
1
,111n n x x x ∞
==-<<-∑ 01ln(1),11!
n
n x x x n ∞
=-=--≤<∑
35
21
sin (1),()3!5!
(21)!
n n
x x x x x x n -=-+-
+-+
-∞<+∞-
等等. 例2求0(1)(21)!
n
n n
n ∞
=-+∑的和.
解 :0(1)
(21)!n n n n ∞
=-+∑0
(21)11
(1)(21)!2n n n n ∞
=+-=-⨯+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞
=⎡⎤=--⎢⎥+⎣⎦∑=0
01111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑
注意到
35
21
sin (1),()3!5!(21)!
n n
x x x x x x n -=-+-
+-+
-∞<+∞-
24
2cos 1(1),()2!4!
(2)!
n
n
x x x x x n =-+-
+-+
-∞<+∞
得
1
(1)(cos1sin1)(21)!2
n
n n n ∞
=-=-+∑.
3利用逐项求积和逐项求导定理求和 定理
[2]
设幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在
00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意一
点x ，有：
10000()()()1
x
x n
n n
n x x N n a a x x x x S x dx n ∞
∞
+==-=-=+∑∑
⎰
⎰
1
0000
()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞
∞
-==⎡⎤-=-=⎣⎦∑∑
并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3计算无穷级数
()() +-+
+⋅-
⋅+
⋅-
⋅-14
53
42
31215
4
3
2
n n x x
x
x
x
n
n
之和(1)x <.
解：对于级数()x
x
n
n n
+=
∑
-∞
=11
1(1)x <. 两边从0积分到x 得
()()x n
x n n n
+=++∞
=∑-1ln 1
1
1,(1)x <，
两边从0积分到x 得
()()()
()()()x x x x dt t n n x
n n n
x
++-+=+=++⎰∑-+∞
=1ln 1ln 1ln 210
2
1,(1)x <
上式右边是原级数. 故级数和
()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.
例4 求幂级数()
()x n n n
n n 2112111⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+∑
-∞
=的和函数()x S . 解：令2
t x =，幂函数()
1
1
1
11(21)n n n t n n ∞
-=⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦
∑
的收敛半径 '1
1(21)
lim 11(1)(21)
n n n R n n →∞+
-=+
++
故原函数的收敛半径1R ==，从而收敛区间为(1,1)-，而知级数
2
1222
1
1
(1)
(),(1,1)1n n
n
n n x x
x x x ∞
∞
-==-=--=∈-+∑∑， 记1
21
1()(1)
,(0)0(21)n n n x x n n ϕϕ∞
-==-=-∑，'
121'1
2()(1),(0)021n n n x x n ϕϕ∞
--==-=-∑
且''
1
22
122
1
2
()(1)
22(1),(1,1)1n n n n n n x x
x x x
ϕ∞
∞
---===-⋅=-⋅=
∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0
()()()2arctan x x x d x x ϕϕ==⎰,
'0
()()()2arctan x x
x x d x xdx ϕϕ==⎰⎰
=1
2
2
012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++⎰
因此
22
2
()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x
=+-+∈-+. 4逐项求极限
如果函数在端点处无定义，那么可用求极限的方法讨论在端点处的和函数. 例5
[]
4求幂级数1
21
(1)1n n
n x n +∞
=--∑的和函数.
解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.
（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下面用逐项求导的方法求解.设
1
1
22()(1)
1
n n n x f x n +∞
-==--∑，(1,1)x ∈- 则有
1
'
1
2()(1)
1
n n n x f x n +∞
-==--∑ 1
(1)n
n
n x x n ∞==-∑
再设
1
()(1)n
n
n x g x n ∞
==-∑，(1,1)x ∈-
又有
1'
1
1
()(1)1n n
n x g x n x -∞
==-=-+∑
于是对上式两边进行积分，得
1
()()(0)1x
g x dt g t
=-
++⎰ln(1)x =-+ 并有
'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.
再进行积分，又得
0()ln(1)(0)x
f x t t dt f =-++⎰
221ln(1)224
x x x x -=+-+
（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数
22
1()ln(1)224
x x x f x x -=+-+
在1x =处左连续，而幂级数在1x =处收敛，所以等式
1221
2
2
1(1)
ln(1),1224
n n n x x x x x n +∞
-=--=+-+-∑ 在1x =处也成立.但因()f x 在1x =-处无定义，故要改用逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由
22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-⎡⎤
-=+-+⎢⎥⎣
⎦ 11ln(1)3lim 1
24
1x x x x +→-⎡⎤
⎢⎥-+=⋅+⎢⎥⎢⎥+⎣
⎦ 12
1
31lim 14(1)
x x x +→-+=+-+3
4= 得到
112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1
n n x n x n ++∞
-→-==--∑
11
22
(1)(1)
1n n n n +∞
-=-=--∑221
1
n n ∞
==-∑ 所以原幂级数的和函数为
22
1ln(1),(1,1]224()3,1
4
x x x x x S x x ⎧-+-+∈-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩.
5利用Flourier 级数求和
求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅里叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可. 例6
[5]
求21
(1)n
n n ∞
=-∑的和.
解：21(1)n n n ∞
=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos n
n nx n
∞
=-∑在0x =时的值，因此可以考虑
适当选取一个偶函数()f x ，满足
21
(1)()cos n
f x nxdx n
π
π
π
-
-=⎰
对于上式左端利用分部积分，得到
'''221
11()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n
π
ππ
ππππππ---⎡⎤=
-⎣⎦⎰⎰ ='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n n
πππ
ππππππ---⎡⎤-+⎣⎦⎰ 注意到
cos cos()(1)n
n n ππ=-=-
有
''
(3)23
1
1(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n π
π
π
π
πππππ-
-
-⎡⎤=--+⎣
⎦⎰⎰
取
2
1()4
f x x =
， 则
21
(1)()cos n
f x nxdx n
π
π
π
-
-=⎰
同时
2
11()6f x dx n πππ-=⎰，
这样2
1()4
f x x =
在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412n
n x nx n
π∞=-==+∑ 令0x =，得
2
2
1
(1)112n n n π∞
=-=∑ 例7
[4]
证明: 4
41190k k
π∞
==∑.
证明:将函数2()(
)2
x
f x π-=展成傅里叶级数
2
22
00
1
(
)2
6
x
a dx π
πππ
-=
=
⎰
2220
1
1
(
)cos 2
k x
a kxdx k
π
ππ
-=
=
⎰
， 0k b =
是
2
2
2
1
cos ()(
),022
12
k x
kx
f x x k πππ∞
=-==
+≤≤∑
由柏塞瓦尔等式（函数2()(
)2
x
f x π-=连续）
2224040
111
()(
)22
k k k a x
a b dx k π
ππ
∞=-++=∑⎰
,
有
24
224
440
11111
()()2621640k x
dx t dt k
π
π
ππππππ
∞-
=-+===∑⎰
⎰
即
441
190k k π∞
==∑. 6构建微分方程
如果某些级数的一般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利用经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分方程，然后解微分方程来求其和.
例8 求级数1111
2242462468-+-+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅之和.
解：设幂级数
2468
21
()(1)
2242462468
(2)!!
n
n x x x x x S x n -=-+-+
+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
则
357
2'
1
()(1)
224246
(2(1))!!
n
n x x x x S x x n -=-+-+
+-+
⋅⋅⋅-
24681()2242462468x x x x x ⎡⎤
=--+-+
⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣
⎦
(1())x S x =-
于是所得一阶微分方程：
'()(1())S x x S x =-,
其通解为
22
()1,x S x Ce
-
=+
由(0)0S =得1C =-
因此得
2
2121
()(1)1(2)!!x n
n N x S x Ce n ∞
-
-==-=-∑ 从而
12
1111
(1)12242462468
S e --+-+==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
7拆项法
无穷级数求和时，有时根据一般项的特点，将一般项进行拆分来简化运算过程.
例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞
-=-∑的和函数.
解:先求幂级数的收敛域.
因为1n =，且级数12
1(1)n n n ∞-=-∑与21
n n ∞
=∑都发散，所
以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于
2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++
因此
1
2
1
11
11
1
(1)
(1)
(1)(2)3(1)(1)(1)n n
n n
n
n
n n n n n n n x n n x n x x ∞
∞
∞∞
---====-=-++--++-∑∑∑∑
1
2''
11'1
1
(1)
()3(1)()1n n n n n n x
x
x x ∞
∞
-+-+===---+
+∑∑ 1
2
''
11'1
1
((1)
())3((1)())1n n n n n n x x
x x
∞
∞
-+-+===---+
+∑∑ 32'''()3()111x x x x x x =-++++ 23(1)
x x x -=+,(1,1)x ∈-
因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为
2
3
()(1)
x x S x x -=+,(1,1)x ∈-. 8将一般项写成某数列相邻项之差
用这一方法求无穷级数的和，首先需要解决：已知1n n u ∞
=∑，如何求n v ？
当1
1
1n n n n m u b b b ++-=
⋅，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，
11
11
n n n n m v md b b b ++-=-
⋅（m 为待定因子）.
于常数项级数1
n n u ∞
=∑，如果能将一般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:
1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞
=存在，
则
21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞
++===-+-+
+-=-∑，
所以
1lim
n n S v v
∞→∞
=-
.
例10 求级数1
n ∞
=
∑之和
.
解：一般项
n u
=
-
令
n v =则
1,n n n u v v +=
-1v =lim n n v u ∞→∞
=
n =
0n ==
∴11
n v v ∞
∞==-∑10v =
-=例11 求1
1
(1)(3)(5)(7)n n n n n ∞
=++++∑的和.
解: 1
(1)(3)(5)(7)
n u n n n n =
++++
111
8(3)(5)(7)
n v n n n +=-
+++
11
8(1)(3)(5)
n v n n n =-
+++
则
1n n n u v v +=-
11
1
lim()2468
n n n n u v v ∞
→∞
=∴=-=
⋅⋅⋅∑.
总之，穷级数求和没有一个固定的方法可循，其实无穷级数求和方法很多，我们要善于发现和总结.这里只介绍了一些常用的方法和技巧，希望对大家计算求和问题有一定的帮助.
参考文献：
[1]陈传璋.数学分析[]M .：高等教育.1983.
[2]裘兆泰.王承国.数学分析学习指导[]M .：科学.2004.
[3]李素峰.关于无穷级数求和问题的探讨.XX 学院学报,2008,23(4):100-101.
M.：高等教育出版.2004.
[4]吴良森.毛羽辉.数学分析学习指导书[]
M.：高等教育.1987.
[5]X玉琏.杨奎元.数学分析讲义学习辅导书[]
Several Methods of Problem of Infinite Series Summation
LiuYanhong 20071115051
Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematics
Advisor Liu Guanting
Abstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. bined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce several mon methods and skills for infinite series in this paper .
Keywords: Item series; Power series; Summation of Series。