关于重金属传播采用模糊聚类分析方法

关于重金属传播采用模糊聚类分析方法

聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。

一、模糊聚类分析的一般步骤

1、第一步：数据标准化[9]

（1） 数据矩阵

设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即

12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为

11

121

2122

2

1

2

m m n n nm x x x

x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

。 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。

（2） 数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

i k k

ik

k x x x s -'= (1,2,,;

1,2,i n k m ==

其中 1

1

n

k i k i x x n

==

∑， 2

1

1

()n

k ik

k i s x x n

==

-∑。

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但

是，再用得到的ik

x '还不一定在区间[0,1]上。 ② 平移·极差变换

111m i n {

}

m a x {}m i n {}

i k i k

i n

ik

ik

ik

i n

i n

x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =

显然有01ik

x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换

lg ik ik x x '= (1,2,,;

1,2,i n k m ==

取对数以缩小变量间的数量级。

2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵）

设论域12{,,,}n U x x x = ，12{,,,}i i i im x x x x = ，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

（1） 相似系数法

① 夹角余弦法

122

1

1

m

ik

jk

k ij m

m

ik

jk

k k x

x r x

x

====

∑∑∑

。

② 最大最小法

11

()

()

m

ik

jk k ij m

ik

jk k x

x r x

x ==∧=

∨∑∑。

③ 算术平均最小法

11

2()

()

m

ik jk k ij m

ik

jk k x x r x

x ==∧=

+∑∑。

④ 几何平均最小法

11

2()m

i k j k

k ij m

ik jk

k x x

r x x ==∧=

∑∑

。

以上3种方法中要求0ij x >，否则也要做适当变换。 ⑤ 数量积法

1

1,

,1

,

,

m

ij ik jk k i j r x x i j M ==⎧⎪=⎨≠⎪⎩

∑

，

其中 1

m a x ()m

i k j k

i j

k M x x ≠==∑

。

⑥ 相关系数法

12

2

1

1

()()

m

ik i jk j

k ij m

m

ik

i jk

j k k x x x x r x

x x

x ===--=

--∑

∑∑

，

其中 1

1

m

i i k

k x x m

==

∑，1

1

m

j jk

k x x m

==

∑。

⑦ 指数相似系数法

2

2

1()

13exp[]4m

ik jk ij k k

x x r m s =-=-∑ ， 其中 2

1

1

()n

k ik

ik i s x x n

==

-∑，

而 1

1

n

k i k

i x x n

==

∑ (1,2,,)k m = 。

（2） 距离法