连续型随机变量
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【概率密度函数的性质】
1.P(x) 0
2. P(x)dx 1 P(x)
这两条性质是判定一个 函数 P(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
面积为1
o
x
3. 对 P(x)的进一步理解: 若x是P(x)的连续点，则：
=P(x)
故的密度 P(x) 在 x 这一点的值，恰好是
落在区间
上的概率与区间长度
拐点 曲线 y = p(x) 以x轴为渐近线 曲线 y = p(x) 的图形呈单峰状
p(x) 的两个参数： — 位置参数
即固定 , 对于不同的 , 对应的 p(x)
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数 固定 ，对于不同的 ，p(x) 的形状不同。
若 1< 2 则
前者取
附近值的概率更大。 x = 1 所对应的拐点 比x = 2 所对应的拐点更靠近直线x=
率规律就得到了全面描述.
P(x)
o
x
【例1】设R.V.具有密度函数
C P(x) 1 x2
试求（1）常数C （2） 的 d.f.F（x） （3）P(0≤ ≤1 ）
【解】 (1)C 1
(2)F(x) 1 1 arctan(x)
2
(3)P(0 1) 1
4
【例2】设R.V.的d.f为
0, x 0
应用场合
若随机变量 受 到众多相互独立的随机因
素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，
且这些影响可以叠加,则服从正态分布。
可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；
问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次 误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?
解
设A表示进行 n 次独立测量至少有一次误差
的绝对值不超过10米
n>
所以至少要进行 4 次独立测量才能满3足要求。
3. 指数分布
若的密度函数为
> 0 为常数
则称 服从 参数为的指数分布。
记作～E（）
的分布函数为
对于任意的 0 < a < b,
其分布函数 作变量代换
【例3】设 ~ N(1,4) , 求 P (0 1.6) 【解】
P504 附表3
【例4】已知～N(2, 2)，且P( 2 < < 4 ) = 0.3,求P( <0)
解一
P(
0)
0
2
＝1
2
P( 0) 0.2
解二 图解法 由图
0.3 0.2
标准正态分布的上 分位数 u
F
(
x)
Ax
2
,
0 x1
1, x 1
求常数及R.V. 的p.d.f。
【解】 A＝1
P(x)
dF ( x) dx
百度文库
2x,
0,
0 x 1 其它
二、几种常见的连续型分布
1.均匀分布
定义：如果R.V.的p.d. f 为
那么称R.V . 服从参数为（a，b）的均匀分布，记为
R.V.～U (a,b)
它的实际背景是:r.v X取值在区间(a,b)上，并且 取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布。
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，
则 P(x)相当于线密度.
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 P(x)在某点a处的
高度，并不反映 取值的概率.但是，这个高度 越大，则 取a附近的值的概率就越大。也可
以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中
在该点附近的程度。
需要指出的是:
连续型r.v取任一指定值的概率为0。
2.正态分布 若 的密度函数为
为常数，
则称服从参数为 , 2 的正态分布 记作～ N ( , 2 )
p (x) 的性质：
图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) 在 x = 时, p(x) 取得最大值
在 x = ± 时, 曲线 y = p (x) 在对应的点处有
一种重要的正态分布：N (0,1) — 标准正态分布
标准正态分布的计算：
如果随机变量 ~ N 0，1，则其密度函数为
x
1
x2
e2
,
2
其分布函数为
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x
教科书上都附有标准正态分布表,由此可得(x)值。
-x
x
对一般的正态分布 ：～N( , 2)
X 的密度函数为
p
x
1 10
x
e 10
0
令：B={ 等待时间为10～20分钟 }
x0 x0
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x 20
e 10
e 1 e 2 0.2325 10
设 ~ N (0 , 1), 若u 满足条件
P u ,0 1,
则称点 u 为标准正态分布的上 分位点。 查表可知
u0.05 =1.645 u0.005 =2. 575
(x)
u0.95 = -1.645 u0.995 = -2.575
u1
0
u x
【例5】设测量的误差～N(7.5,100)(单位：米),
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命 动物的寿命
指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
【例6】设打一次电话所用的时间（单位：分钟）是以 1
10 为参数的指数随机变量．如果某人刚好在你前面走进公
用电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率。
即：
a为任一指定值
这是因为
由此得，
1) 对连续型 r.v. ,有
2) 由P( =a)=0可推知
而 { =a} 并非不可能事件
并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 由P(B )=1, 不能推出B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件。
由于连续型r.v 唯一被它的密度函数所确 定。所以，若已知密度函数，该连续型r.v 的概
1.P(x) 0
2. P(x)dx 1 P(x)
这两条性质是判定一个 函数 P(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
面积为1
o
x
3. 对 P(x)的进一步理解: 若x是P(x)的连续点，则：
=P(x)
故的密度 P(x) 在 x 这一点的值，恰好是
落在区间
上的概率与区间长度
拐点 曲线 y = p(x) 以x轴为渐近线 曲线 y = p(x) 的图形呈单峰状
p(x) 的两个参数： — 位置参数
即固定 , 对于不同的 , 对应的 p(x)
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数 固定 ，对于不同的 ，p(x) 的形状不同。
若 1< 2 则
前者取
附近值的概率更大。 x = 1 所对应的拐点 比x = 2 所对应的拐点更靠近直线x=
率规律就得到了全面描述.
P(x)
o
x
【例1】设R.V.具有密度函数
C P(x) 1 x2
试求（1）常数C （2） 的 d.f.F（x） （3）P(0≤ ≤1 ）
【解】 (1)C 1
(2)F(x) 1 1 arctan(x)
2
(3)P(0 1) 1
4
【例2】设R.V.的d.f为
0, x 0
应用场合
若随机变量 受 到众多相互独立的随机因
素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，
且这些影响可以叠加,则服从正态分布。
可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；
问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次 误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?
解
设A表示进行 n 次独立测量至少有一次误差
的绝对值不超过10米
n>
所以至少要进行 4 次独立测量才能满3足要求。
3. 指数分布
若的密度函数为
> 0 为常数
则称 服从 参数为的指数分布。
记作～E（）
的分布函数为
对于任意的 0 < a < b,
其分布函数 作变量代换
【例3】设 ~ N(1,4) , 求 P (0 1.6) 【解】
P504 附表3
【例4】已知～N(2, 2)，且P( 2 < < 4 ) = 0.3,求P( <0)
解一
P(
0)
0
2
＝1
2
P( 0) 0.2
解二 图解法 由图
0.3 0.2
标准正态分布的上 分位数 u
F
(
x)
Ax
2
,
0 x1
1, x 1
求常数及R.V. 的p.d.f。
【解】 A＝1
P(x)
dF ( x) dx
百度文库
2x,
0,
0 x 1 其它
二、几种常见的连续型分布
1.均匀分布
定义：如果R.V.的p.d. f 为
那么称R.V . 服从参数为（a，b）的均匀分布，记为
R.V.～U (a,b)
它的实际背景是:r.v X取值在区间(a,b)上，并且 取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布。
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，
则 P(x)相当于线密度.
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 P(x)在某点a处的
高度，并不反映 取值的概率.但是，这个高度 越大，则 取a附近的值的概率就越大。也可
以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中
在该点附近的程度。
需要指出的是:
连续型r.v取任一指定值的概率为0。
2.正态分布 若 的密度函数为
为常数，
则称服从参数为 , 2 的正态分布 记作～ N ( , 2 )
p (x) 的性质：
图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) 在 x = 时, p(x) 取得最大值
在 x = ± 时, 曲线 y = p (x) 在对应的点处有
一种重要的正态分布：N (0,1) — 标准正态分布
标准正态分布的计算：
如果随机变量 ~ N 0，1，则其密度函数为
x
1
x2
e2
,
2
其分布函数为
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x
教科书上都附有标准正态分布表,由此可得(x)值。
-x
x
对一般的正态分布 ：～N( , 2)
X 的密度函数为
p
x
1 10
x
e 10
0
令：B={ 等待时间为10～20分钟 }
x0 x0
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x 20
e 10
e 1 e 2 0.2325 10
设 ~ N (0 , 1), 若u 满足条件
P u ,0 1,
则称点 u 为标准正态分布的上 分位点。 查表可知
u0.05 =1.645 u0.005 =2. 575
(x)
u0.95 = -1.645 u0.995 = -2.575
u1
0
u x
【例5】设测量的误差～N(7.5,100)(单位：米),
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命 动物的寿命
指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
【例6】设打一次电话所用的时间（单位：分钟）是以 1
10 为参数的指数随机变量．如果某人刚好在你前面走进公
用电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率。
即：
a为任一指定值
这是因为
由此得，
1) 对连续型 r.v. ,有
2) 由P( =a)=0可推知
而 { =a} 并非不可能事件
并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 由P(B )=1, 不能推出B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件。
由于连续型r.v 唯一被它的密度函数所确 定。所以，若已知密度函数，该连续型r.v 的概