泰勒公式与极值问题

第十七章多元函数微分学§４泰勒公式与极值问题
§4 泰勒公式与极值问题
教学计划：６课时．
教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件．
教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件．
教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式．
教学方法：讲授法．
教学步骤：
一高阶偏导数
f(x,y),f(x,y)x y)yz?f(x,的函数，如果它们仍然是自变量由于的偏导函数与yx x y f具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下与的偏导数也存在，则说函数关于四种情形：
??
222??y?zx?y????,?????
??
222y??x?yy?x22y?x??222??yz?xx????,?????
222x??y?xy?x22y?x??2???2xz?xy?????.□????2222y?y?y?x22y?x??注意从上面两个例子看到，这些函数关于x和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数），即
22zz???.?x?y?y?x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数
???yfx,22y?x??22?0y0,x.??它的一阶偏22?yx?22?0,xy,x?y?
导数为??4224?yy4xyx??22?0?yx,,?????2?fyx,
??4224?yyxx??4x22?0?y,,x?????2?fx,y
22?y?x x?22?0y,0x,??
22?yx?y?22?y0x0,,??进而求f在（0，0）处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得????00?f,f0,?y??y??xx?lim??1f0,0,?lim
????0,0x,0f?f??x??yy?lim,100f?lim?．
xy?y?y0?y?y?0?
??yxf,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么由此看到，yx?x?x00x??x??
这里的????yfx,与,xfy表示条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把
00xy0yx0成极限形式．由于
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????y,yx?ffx??x,??,x,yflim?x?x0??x因此有????y,yx?ffx,y????00x0x0lim,yf?x
???f(x,y?,y??y?yf)x??x1?0000limlim???
00xy?y0??y
?yx??0??y?0x????f(x,yf)x??x,y?0000lim
?
x??0?x?????)y)?fxx??x,y,?ff(x??x,y??y(?fx,y??y??00000000lim.?lim1
yx??0??0?x?y类似地有
??yxf,0yx0?????f(x,y,y??yx?f(??x,y)?ff)x??x,y??yx??00000000?lim.lim2
yx??0?0?y?x?????y?fyxf,x,)2(1),(这两个累次极限相等，即以交换累次极成立，必须使为使
????y.,x,yx和f.f都0xy000yx(1),(2)相等的一个充分条件．下述定理给出了使极限限的极限次序.
在点连续，则17.7定理若yxxy??????yyx?ff,x,3
0xy000yx证令
F(?x,?y)?f(x??x,y??y)?f(x??x,y)?0000f(x,y??y)?f(x,y),
0000????f(x,y??y)?f(x,y)x00于是有
????).)?x(y)?x(x??F(?x,?400?xf可导。

应用一元函数的中值定理，有由于函数的偏导数，所以函数存在关于
???????x?x(x)??'(x??x)?x100
??????????1).(,y0?,y?y??f?x??xf?x?x?x110001xx0??x,y)f(x?f yy应用一元函数中的偏导数，故对以为自变量的函数又由存在关于10xx值定理，又使上式化为
???????x?yy??x)?fyx?.?x(x??x)?,(20xy0100???1?(0).,
21??4则有由
?????x?yyx,y?.(f?x,?y)?f?x??2xy010???1,(0?).(5)
21?(y)?f(x??x,y)?f(x,y),如果令00则有
??(y)?y)?x,?y)?(y??F(．00用前面相同的方法，又可得到
???y)??yx?x(?y,?F(x?)f?,x?y4030yx
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???,1?）（0（6）43?x,?y不为零时，由（5），（6）两式得到当?????y?xy???y(x?).?x,?y)?xx,y??f(x?y?f430yx0xy2100?????,0?1,,）
（（7）4321????yf,x,yxf与(x,y)?x?0,?y?0时，(7)在点连续，故当由定理假设式两边极yxxy00限都存在而且相等，这就得到所要证明的(3)式．nu?f(x,y,z)，若下述这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成立。

如三元函数
六个三阶混合偏导数
f(x,y,z),f(x,y,z),f(x,y,z),zxyyzxxyz)zy,f(x,),f(x,y,z),f(x,y,z zyxxzyyxz z?f(x,y)在点在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数nm(?n,y))(x阶混合偏导数都与顺序无关．阶的连续混合偏导数，则在这一点存在直到今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关．
x,ys,t z的函数，即下面讨论复合函数的高阶偏导数．设而成为是通过中间变量
z?f(x,y)
????,,,t)t),y?f(x?s(s,都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的其中，若函数s,t z同样存在二阶连续偏导数。

具体计算如下：对
?z?z?x?z?y??,s?y??s?x?s?z?z?x?z?y??.
?t?x?t?y?t?x?x?y?yz?z??z?z,,,,yx,s,ts,t的复合函数，仍是的函数，其中是是显然与?x?y?s?t?s?t?s?t s,t z的二阶偏导数的函数。

继续求关于2z??z?x?z???x????????????
2?s?s?x?s?x?s?s???????y?z???y?z??????????
ys?s?s?y??s?????222??x????z?x?xz?yz?????????
22x?ss??s??xy?sx????222??y??yz??z?x?z?y??????
22ys??ss??y?x?s?y???222y???x?x?zz???2?????
2ss??s??x?yx???2222yx?z???z?yz????.???222syx???y?s??s??同理可得．
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2222yx?z??z?x??z??2??????
22t?t??x?y?tx??t??2222y??zz?y?z??x???,???
222t?x?y?y??tt???222y?y??xz??xz??z?x?x????????
2st??s?tt???s?t?x?y?sx???222y??x??zz?y?y?z??
2ts??t?y??s?t?x?sy?2z?.?st??22??z?z?x??.,xf,z?，例3设，求??
2y?x?x?y??x y z是以为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：和解这里x.??x,v?f(u,v),uz y由复合函数求导公式有?z?f?u?f?v?f1?f????.
?x?u?x?v?x?uy?u?f?f,u,vx,y为自变量的复合函数．所以仍是以为中间变量注意，这里?u?v2??f1???fz????.???
2?x?uf?v?x??2222??vf??uff?u??f?v1??????????
22??ux??x?u?v?xyx?vvu????222ff?1??f2,???
222vy??u?vu?y2??f1???fz???????
?uy?v?x?y?y??22f?v1?f?u??f????
22v?u?v?y?y?y?u22??vf1???f?u???□??
2y?v?u?y?yv???22f1?ffx??x????.2223?u?v?vyyy?v
二中值定理和泰勒公式
n对于二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，
(n?2)也有同样的公式，只是形式上更复杂一些．元函数在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念．
D．这就是说，若）6－17（图凸区域为D，则称D上任意两点的连线都含于D若区域
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??D?,y)x,y),P(xP(?1),(0?，恒有,则对任意两点和一切为凸区域212121??(y?y))?x),y?DP(x?.(x?
112112
2R?D f的所有点内都（中值定理）设二元函数D在凸开域上连续，在定理
17.8??),?1intD,?(0),Q(a?h,b?k)?P(a,b，存在某，使得可微，则对D内任意两点f(a?h,b?k)?f(a,b) (8)
????.),b??f(a?kh,b??k)h?f(akh yx证令
?(t)?f(a?th,b?tk).
????????1,00,1,?1t0内可微．于上连续，在上的一元函数，由定理中的条件知在它是定义在???1?)(0使得是根据一元函数中值定理，存在?).(?'(0)??(1)??（9）
由复合函数的求导法则
?????k)k,b??f(a?.)?f(a?bh,?hk)h?'(（10）yx??k)?b?(a?Dh,，故由（由于D为凸区域，所以9），（10）即得所要证明的（8）式．
?),yP(xP(x,y),?1)(0?，上任意两点及任意若D是闭凸域，且对D注意211221都有
??(y?y))y??intDP(x?,(x?x),122111?D?P,Q?(0,1f)Dint使（8）式成立．内可微的函数，只要，也存在则对D上连续，??222?,ry))(x??)?(y?(x,y f Dint内可微，D例如D，是圆域上连续，在在????da,bc?,Q,P上任意两点，那就不能保证对式成立，倘若D是矩形区域D则必
有（8）．8）式成立（为什么？）都有（相中值公式(12)8公式（）也称为二元函数（在凸区域上）的中值公式．它与定理17.3????)?k?,hb(aQP,可的连线上,差别在于这里的中值点,而在定理17.3是在中与比较12以不相等．f推论若函数上存在偏导数，且在区域D,f?f?0
yx f在区域D则上为常量函数．1习题16(2)两者证明的差别）．请同学们作为练习自行证明（注意本推论与§)P)U(P(x,yf1?n阶的泰勒定理）定理17.9（若函数内有直到在点的某邻域0000?)(PU)k(x?h,y?)1,?(0，存在相应的内任一点，使得连续偏导数，则对
000???k)(hf(x,y)?),???f(xh,yk)f(xy?000000?x?y1??2fxy?kh?? ,(())
00y?x?!2．
泰勒公式与极值问题§４第十七章多元函数微分学
?1?n?y)f(x(h?k),00yxn!???1?1n???).kyf(x??(h?k)h,
(11) ??00y??n?1x!Pnf (11)式称二元函数，其中在点阶的泰勒公式
?imim?i.k(x,y)fh?k)(x,y)?hCf(0m000iim?yx??yx??0i? 0mm???
17.8的证明一样．作函数证与定理
).tk,y??f(x?tht?()00??10,)(t?于是有由定理的假设,一元函数上满足一元函数泰列定理条件在,)0?(?'(0)?0))???(?(1?? !21!)1(n)(n??)((0?)???).?1(0?(12)
)!!(n?1n)t?(应用复合函数求导法则,可求得的各阶导数：
??m)(m).?y?tk(t)?(h?k)?f(xth,).n?1(m?1,2, ,00y?x?0t?当时,则有
??mm)(h??k)(f(x,y)0)?().,n?(m1,2, (13) 00y?x?及??11)n?(n????).k,y(f(x)?(h???k?)h(14) 00yx??□
将(13), (14)式代入(12)式就得到所求之泰勒公式(11)．
0?n时的特殊情形．(11)易见，中值公式(8)正是泰勒公式在n22???U(P)f)R??(?k)(h内存在直中只要求余项在若在公式(11)，则仅需0n到阶连续偏导数，便有)?h,y?kf(x
?Pn??).(,y)?)?(hk)?f(x,?f(xy(15)
00n1??
0000p!?x?y0P?y3.96x)?(x,yf．(1.08) 在点求(1,4)的泰勒公式（到二阶为止），并用它计算例４
x?1,y?4,n?2,，因此有由于解
00y,f(1,4)?x)?1,f(x,y y?1,f(1,4)?4,f(x,y)?yx xxy lnx,f(1,4)?xf(,y)?x0,yy
??22y.?01x,4lnxf,)(?xf y?22(1,4x)?12,f.,1,f(xy)?y(y?)x2xy?1y?1lnx,f(1,yf(x,)?x4)yx??1.xy
(,y)y2y将它们代入泰勒公式(15)，即得??2y2?.?)(?()?(?1x41x??(?)6x1?x1y4?)o
泰勒公式与极值问题§４第十七章多元函数微分学
,96?3.x?1.08,y若略去余项，并让，则有??963.2081.3552.0.08?0.08?0.04?1?1?4?0.08?6?
□
的近似值．因为微分近似式例7的结果相比较，这是更接近于真值(1.356307…)与§1 相当于现
在的一阶泰勒公式．
三极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进行
讨论．
???? P yP,xf点何于任义．的某邻域若定义设函数对在点内有定0000????,P?x,yUP，
成立不等式0??????，(fPP)f?P)?f(Pf或00PPff．极大值、）值点称为
极大的则称函数（或在点极小取得极大（或极小）值，点00极值点．极小值统称极值．极大值
点、极小值点统称注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点．
2222.?xy,xf(x,y)?2?y,g(x,y)?1?x?yh(x,y)由定义直接知道，设5．例g)0(0,f h的极值点．这
是因为对任何点的极大值点，但不是的极小值点，是是坐标原点??22
1?y?)?(x,y)x(x,y0)0?x,y)?f(0,)(x,yf(有恒数；对函，恒有，0,y)?,0)?1h(xxg(,y)?g(0h的Ⅰ、,
在原点的任意小邻域内，既含有使;而对于函数Ⅲ0,0)?y)?0h(0,h(x既不是极大值又的Ⅱ、Ⅳ象限
中的点，所以象限中的点，又含有使□不是极小值． ????yx,yxy?yf,f必定由定义可见，若取得极值，在点则当固定时，一元函数0000??.x,?xxfyy?y
也取相同的极值．于是得到在取相同的极值上．同理，一元函数在000二元函数取极值的必要条
件如下：??Px,Pyf取得极值，在点存在偏导数，定理17.10（极值必要条件）若函数且在0000
则有????.0f?x,fx,yy?0,(16) 000yx0PPfff存指
出：若的稳定点在点．定理满足(16)，则称点17.10为反之，若函数00h，原点中的函数在偏导
数，则其极值点必是稳定点。

但稳定点并不都是极值点，如例5 为为其稳定点，但它在原点并
不取得极值．与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。

例如
??yxP,ff具有二阶连续在点为
22y?y)?xf(x,f(0,0)?0f的极小值．在原点没有偏导数，但是
了讨论二元函数取得极值的充分条件，我们假定000偏导数，并记
f f(P)f(P)f????xy0xxxxxy0H(P)??(17)
????0f f f(P)f(fP)????yy0yxyxyy0P0Pf Hesse）矩阵．黑赛（在它称为的0P(x,y)U(P)f内具有定理
17.11（极值充分条件）设二元函数在点的某邻域0000H(P)PPff取得极小值；当二阶连续导数，
且在是是正定矩阵时，的稳定点。

则当0f00H(P)H(P)PPff不取极值．在当是负定矩阵时，是不
定矩阵时，在取得极大值；0f0f00f(P)?f(P)?0,Pf的二阶泰勒公式，并注意到条件，有由证在0y0x0．
第十七章多元函数微分学§４泰勒公式与极值问题
f(x,y)?f(x,y)001??22T.yx,?,?y)?o?,?(?x?y)H(P)(?x0f2??)(PH00,?x,?y)?(型次恒
使二，所以对由于任何，正定0fT?0.?y)(P)(?x,,?y)?(?x,?y)H?Q(x?x,?y无关的正数ｑ，使得．因此存在一个与0f22).,?y?2q(?x?Q(x,?y)
U(P)(x,y)?U(P)就，只要有从而对于充分小的00??????????????2222220f?x,y?f?xyy?q??x??y?x?o??x1??yq?00,)(x,yf在点即取得极小值．00)PH(Pf在取得极大值．为负定矩阵时，同理可证0f0H(P)Pff取极值（例如取极大值）不定时，最后，当这是因为倘若在，不取极值．0f0???t?t?y)?f(xt?x,y?t?x,y?y?t?y,f(x,y)?x?x?P，的直线则沿任何过00000??0?0)(tt?0?0在是不可能的亦取极大值．由一元函数取极值的充分条件在（否则?(0)?0.而将取极小值），故
?'(t)?f?x?f?y,yx22?,?y?y??xf?2f?x(t)?f
yyxyxx????T?.y?x?y?H(P(0)?)?x0f H(P)H(P)f必须是正半这表明取极小值，则将导致必须是负半定的。

同理，倘若00ff H(P)Pf必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设定的。

也就是说，当取极值时，在0f0相矛盾．□根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成如下比较实用的形式：
Pff的稳定点，则有：所设。

若函数是如定理17.110????20Pf?f)f?P(?0,f Pf在点当时，取得极小值；(ⅰ)00xxyyxy0xx????20P?f)f?P?0,(ff Pf在点ⅱ)当时，取得极大值；
(00xx0xxxyyy??20f)?Pf(f?Pf时，不能取得极值；(ⅲ)当在点00xyyyxx??20)?Pf(ff?Pf(ⅳ)当时，不能肯定是否取得极值．在点00xxxyyy22610y???5y6x?f(x,y)?x6求的极值．例解由方程组
f?2x?6?0,?x?f?10y?10?0?y??1?P3,f得，由于的稳定点0?????0f,fPP?2,0xyxx0 ????2.??f)20PfPf?10,(f xyxx00yyyy Pf(3,?1)??8.f(3,?1f)f的惟一极处处存在偏导数，故在点取得极小值又因为因为0值点．
2xyx?,xy)?f(是否存在极值．讨论7例
0??f0yx?f2??,x解由方程组得稳定点为原点．yx
泰勒公式与极值问题§４第十七章多元函数微分学
2,0??1?ff?f fff没有极因的极值点。

又因处处可微，所以，故原点不是xyyyxx值点。

??22x2?(y?x)y?f(x,y)在原点是否取得极值．例8讨论2,?f?0ff f无法判定的稳定点，且在原点故由定理解容易验证原点是17.11xyxxyy2222xx2?y?xyy?2x?或,f(x,y)?0f时，而当在原点是否取到极值．但由于当时,)?0f(x,yf），所以函数17不可能在原点取得极值．－7（图
ff在区域在某一点的局部性概念．要获得函数由极值的定义还知道，极值只是函数上的最大值和最小值（由上一章知道在有界区域上的连续函数一定能取得最大值与最地D f在所有稳定点、无偏导点以及属于区域的小值），与一元函数的问题一样，必须考察函数界点上的函数值．D 上的最大（小）值．比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小．例9a,???C三切点处的半径两两相夹的中心角任一外切三角形为设圆的半径为，．证
???????)?,2,(??C???－8分别为）。

容易得出的面积表达式为（图．其中
17?????2ntan?tan?taS?a??222?????????2.?tantantan??a??
222?????.,0??其中．为求得稳定点，令????1??222,?S?0asec?sec???
222??????1??222??secS?0.asec??
??????????.??2?)???(,,的方程组仅有惟一解：在定义域内上述关于
?222??22
3322????????,,???，求得在稳定点处的二阶偏导数为为了应用定理17.11
33??222.S,?43a,S?43aS?23a??????42S?SS,S??36a?0,0由于S，因此在此稳定点上取得极小值．???????????,??，而具体问题存在因为面积函数S在定义域中处处存在偏导数，又因此时最小值，故外三角形中以正三角形的面积为最小．??,i1,2,n.y,x ?设通过观测或实验得到一列点10 例（最小二乘法问题）。

它们ii x y之间的对应关系（参见图与大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量
第十七章多元函数微分学§４泰勒公式与极值问题
n个点的偏差平方和最小（最小二乘方）．．现在要确定一直线使得与这17－9）
??,(i1,2,nx,y.)n,?by?ax ?个点为设所求直线方程为所测得的解．现要确定ii a,b，使得
n
?2)y?ba,b)?(ax?f(ii1i?为最小．为此，令n??,0?y)?f?2x(ax?b?iiia?1i?
?n??,y0)2?(ax?b?f?iib??1i?b,a把这组关于的线性方程加以整理，得
???20?xx?byx?a?iiii?1?ii?1i?1?nn???.bn?ayx?ii??11i?i?)b(a,f求此方程组的解，即得nnn?
定点的稳nnn???????yxy?xn????iiii????1ii?1i?1??a,
??2xn?x??ii??1?1?ii
2nn??
????2xxxy?y????????iiiii????????1i?1?1i?1i?i?b.
nnnn????????
??2xnx???ii??1i?i?1为进一步确定该点是极小
2nn??
值点，我们计算得n?2,0x?A?f?2iaa1i?n?,2xB?f?iab
??22,x??4nx?40D?AC?B??ii??1?i?1i??b,a)f,b(a由实际问题可知这极小值1i?;2n?C?f bb2nn??
为最小从而根据定理17.11，.在点取得极小值
值．□
；２；７（２），作业布置：Ｐ１４１１（２）（７）；１１．。