任意角的三角函数优秀课件
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求的三个三角函数值.
解:由已知可得:
rx2y212 25213
于是,sin y 5 cos x 12
r 13
r 13
tan y 5
x 12
变式2:已知角α的终边经过点P(2a,-3a),求角α的正弦、 余弦、正切值.
3 、 已 知 角 的 终 边 在 直 线 y 2 x 上 , 求 角 的 s i n , c o s , t a n 的 值 . 解 : 1 当 角 的 终 边 在 第 一 象 限 时 , 在 角 的 终 边 上 取 点 1 ,2 , 则 r = 1 2 2 2 5
(3)角的大小是任意的.
2.什么叫做1弧度的角?度与弧度是怎样换算的?
(1)等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.
(2)180°= rad.
3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么?
β=α+k·360°(k∈Z) b=a+2kp(k?Z)
4.如图,在直角三角形ABC中,sinα,cosα,
y
32
32
3
,
思考:若把角 5 改为 7 呢?
5
3
6
7 1
3
o
﹒
A
x
sin ,
6
2
C ﹒B
cos7 3 ,
62
tan 7 3
63
例3 已知角 的终边经过点 P0(3,4),求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ,
思考一
1.2.1任意角的三角函数
二
三
四
例1
例2 例3
例4 检测
作业
问题提出
1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的, 包括哪些情形?
(1)角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角为正角, 按顺时针方向旋转形成的角为负角,没有
作任何旋转形成的角为零角.
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
4
3
2
3 2
2
1 2
2 2
3 2
1
0 1 0
3
2
1
2
2
2
0 1 0
1
3
1
3
3 不存在 0 不存在 0
合作 演练
变式1、已知角的终边过点 P12,5 ,
tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切,它们的 值分别等于什么?
sin a = B C AB
cos a = A C AB
B
tan a = BC AC
C
αA
5.当角α不是锐角时,我们必须对sinα,cosα, tanα的值进行推广,以适应任意角的需要.
Fra Baidu bibliotek
知识
探究一
思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
其中 : OM a
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
cos OMa
OP r
y
﹒Pa,b
r b
tan MPb
OM a
o
﹒
a Mx
诱思探究
如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP∽ OMP
sin MP M P
OP O P
定义推广:2、任意角的三角函数第二定义:
设角是一个任意角,P(x, y) 是终边上的任意一点,
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么①
y r
叫做的正弦,即
sin y
r
②
x r
叫做的余弦,即 cos x r
y ③x
叫做的正弦,即 tan yx0
x
任意角的三角函数值仅与有关,而与点 P在角的
终边上的位置无关.
例3、已知角 的终边经过点P0(3,4),求角
的正弦、余弦和正切值 .
法二解:由已知可得:
r x2y232(4)25
于是,sin y 4 r5
cos x 3 r5
tan y 4 x3
返回
点评:已知角终边上异于单位圆上一点的坐标,求三角函数 值,可根据三角形相似将问题化归到单位圆上,再由定义得 解。
sin 225,c o s15,ta n 2 2
55
55
1
2 当 角 的 终 边 在 第 三 象 限 时 ,
2
cos 1
2
P( 1 , 3 ) 22
tan 3
O
x
点评:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标,则可直接利用 定义求三角函数值。
例2、求 5 的正弦、余弦和正切值.
理论
3
迁移
解:在直角坐标系中,作 AOB 5 ,易知 AOB
31 3
的终边与单位圆的交点坐标为 ( , )
所以 sin5 3 cos5 1 2 tan25 3
规定:(1)y叫做 的正弦,记作 sin,即 siny ;
x (2) 叫做 的余弦,记作 cos,即 co sx;
y
(3) 叫做
的正切,记作tan,即 tan y (x 0)
x
x
y
Px, y﹒
O
A1,0 x
注意:正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.
分别过点 P、P 0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0 M 0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP∽ OM0P0
Px, y P03,4
于是,sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxOM O0 M 3; 1 OP O 0P 5
ta nx yc sio ns3 4
cos OM
OP
OM OP
x
tan MP
OM
M P OM
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢?
若OPr 1,则 以原点为圆心,以单位
长度为半径的圆叫做 单位圆.
Y
P(a,b)
O
M
sin
MP OP
b
cos OM a
X
OP
tan MP b
OM a
1、任意角的三角函数第一定义
设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y)
r
r
a
单位圆中定义锐角三角函数 si nb ,co s a ,ta n b a
单位圆中定义任意角的三角函数
siny, co sx,tan y x
实例剖析
例1:如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ,P( 1 , 3 )
求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解:根据任意角的三角函数定义:
sin 3
思
根据三角函数的定义,确定它们的
考
定义域(弧度制)
3
y
Px, y﹒
O
三角函数
定义域
A1,0 x
sin
R
cos
R
tan 2k(kZ)
任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数 si nb,co sa,tan b
r
r
a
直角坐标系中定义锐角三角函数 si nb,co sa,tan b