二面角及二面角的平面角的有关定义PPT课件

OA 1 ＝(1，0，1)
－1(
2
，1
2
，0)＝（1
2
，－1
2
，1）
OC 1＝(0，1，1) －12(
，1
2
，0)＝（－12
，1
2
，1）
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∴ BD ● OA
＝
1
－
1×
1 2
＋ （ － 1） × （ －1
2
） ＋ 0× 1＝ 0
BD ● OC
＝
1
（
－
1）
×
（
－
1 2
） ＋ － 1×1
2
＋ 0× 1＝ 0
OA
1 ● OC
1＝
1 2
×
（
－
1 2
） ＋ （ －1
2
） ×1
2
＋ 1× 1＝1
2
｜ OA
1 ｜ ＝ ｜ OC
6 1｜ ＝ 2
∴ O A 1⊥ B D ， O C 1⊥ B D ，
∴ ＜ OA
1 ， OC
＞就是二面角
1
A 1－ B D － C 1 的 平 面 角 。
∴ c o s ＜ OA
[0。,180。]
（7）直二面角
平面角为直角 的二面角叫做 直二面角
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2. 课 堂 诊 断
当 1、二面角指的是（ ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
堂 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
角来度量的。一个二面角的平
O。
面角多大，我们就说个二面角
等角是定多理少度若的一二个面角角的。两边与
另一个2角.复二的面两习角边回的分平别顾面平角行与且点方（或
O1
。
A
向相同垂，直则平这面两）个的角位相置等无。任何关系， A1
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只与二面角的张角大小有关。
α
B
β
B B1
β
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(6)二面角的范围
小
2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上， 角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱
测 ＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。
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3.有关二面角的题型
例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。
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1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义
（1）半平面 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
αα
（2）二面角
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l
l
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面。
2
(3)常见二面角的画法
∵ A 1C 1＝
2 a ， A 1O ＝ C 1O ＝
3 2
2
a＝
6 2
a
( 6 a)2 ( 6 a)2 (
∴ c o s∠ A 1O C ＝ 2
2
6
6
2
a
a
2
2
1
∴ ∠ A 1O C ＝ a rc c o s3 。
2a)2 1
＝3
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故 二 面 角 A 1 － B D － C 1 的 大 小 为 a r c c o s3 。
解 ： （ 方 法 二 ）
如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
设 正 方 体 的 棱 长 为 1 ， B D
的 中 点 为 O ， 则
D(0，0，0)，B(1，1，0)， O1( ，1 ，0)，
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A1(1，0，1)，C1(0，1，1)
∴BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
在 R t△ E A H 中 ， 易 得
A H ＝ 2E F ， E F ＝ E A ， 2
∴ tan∠ E H A ＝ 2，
∴ 2021∠ /3/7E H A ＝ arctan2。
H
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1、二面角的定义
本 2、二面角的平面角的定义
节 3、二面角的平面角的求解：
C
分析
AB
D
要求CD的长，可考虑用向量法，即求C| D|，
要求|CD|，须先用已知向量CA、AB、BD
表示它，不难得到：CD=CA+AB+BD
最后根据| 2021/3/7
a
|2=a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa·
求出结果.
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解：由已知得：
＜ CA ， BD ＞ ＝ 1 8 0 ○ － 6 0 ○ ＝ 1 2 0 ○ ， CA · AB ＝ 0 ， AB · BD ＝ 0 ∴ | CD |2＝ （ CA ＋ AB ＋ BD ） 2 ＝ | CA |2＋ | AB |2＋ | BD |2＋ 2CA · BD ＝ | CA |2＋ | AB |2＋ | BD |2＋ 2 |CA |× |BD |c o s＜ CA ， BD ＞
由 正 方 体 的 面 对 角 线 长 都 相 等 可 知 ， △ A 1B D 与 △ C 1B D 是 全 等 的 正 三 角 形 ， 取 B D 的 中 点 O ， 连 结 A 1O 、 C 1O ， 则 A 1O ⊥ B D ， C 1O ⊥ BD，
∴ ∠ A 1O C 就 是 二 面 角 A 1－ B D － C 1 的 平 面 角 。
平面DAB为半平面的二面角
记作：
？“C—等AB等—。
D”
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(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面
与两个半平面的交线所成的角
叫做二面角的平面角。
O 。。
或：从二面角的棱上任一点在
两个半平面内分别作垂直于棱
A
的射线，则这两条射线所成的
α
角叫做二面角的平面角。
小结： 1.二面角就是用它的平面
1 ， OC
OA • OC
＞＝
1
1
1 | OA | • | OC
|
1
1
1
1
＝ 2 ＝3 。 6• 6
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例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的
中点，求二面角E－FG－A的大小。
解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H，
连结EH。由EA⊥平面AC及三垂线定理可得：
EH ⊥FG，故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
＝ 62＋ 42＋ 82＋ 2× 6× 8× cos120○
1
＝ 62＋ 42＋ 82－ 2× 6× 8× 2 ＝ 68
∴ | CD |＝ 2 17
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例 2 、 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 A C 1中 ， 求 二 解 ：面 （ 角 方 法A 一1 － ） B D － C 1 的 大 小 。
O
B
a
A
β
α
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（4）二面角的记法
“面1—棱—面2”
如： ①以直线a为棱，以α、β
？ 为半平面的二面角记作： “α—a—β”
②以直线l为棱，以平面
ABCD、平面A1B1C1D1为半
？ 平面的二面角记作： “面ABCD—l—面A1B1C1D1” 或“A—l—A1”，等等。
③以直线AB为棱，平面CAB、