离散系统的稳定性与稳态误差

z w1 w 1
( w 1)2 (0.368K 1.368)(w 1) (0.264K 0.368) 0
w1
w1
(w 1)2 (0.368K 1.368)(w 1)(w 1) (0.264K 0.368)(w 1)2 0
D(w) 0.632Kw2 (1.264 0.528K )w (2.736 0.104K ) 0
朱 利 稳 定 判 据 见 P353 。
例2 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D(z) 39 119z 117z2 45z3 0
D(1) 39 119 117 45 8 0
D(1) 39 119 117 45 320 0
Jurry z0
z1
1 39
119
K 0 1.264 0.528K 0 2.736 0.104K 0
K 0 K 2.394 K 26.3
0 K 2.394
F(z)
0.368K (z 0.718)
内 外
的点
x2
y
2
1 1
对应w平面
u u
0 0
例１ 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D(z) 45z3 117z2 119z 39 0 z (w 1) (w 1)
45( w 1)3 117( w 1)2 119( w 1) 39 0
w1
w1
w1
D(w) 45(w 1)3 117(w 1)2(w 1) 119(w 1)(w 1)2 39(w 1)3 0
0.399 0.0827
1.368
1
1 1.368 0.0827 0.399
0.512
系统稳定
0.993
例4 离散系统结构图如图所示， T=1s,求使系统稳定的K值范围。 解法I — w域中的Routh判据
G(z)
1 eTs
Z
s
K s(s
1)
(1
z
1
)
K
Z
s
2
(
1 s
1)
D(1) 0.002 0.08 0.4 1.368 1 0.114 0 D(1) 0.002 0.08 0.4 1.368 1 2.69 0
Jurry z0
1
0.002
2
1
0.002 1 1 0.002
3 1 4 0.0827
1 0.0827
0.0827 -1
5 0.993
2
45
-117
3
39 45 -
45 39
504
39 45
117 119
624
4 792
624
z2
z3
- 117
45
119
- 39
39 119 45 - 117
792
系统不稳定
504
例3 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D(z) 0.002 0.08z 0.4z2 1.368z3 z4 0
6
0.512
z1
0.08 - 1.368
0.002 1.368 1 0.08
1.368 0.399
1 0.399 0.0827 1.368
1.401 1.401
z2
z3
z4
0.4
- 1.368
1
0.4
0.08 0.002
0.002 0.4 1 0.4
0.002 0.08 1 - 1.368
由z变换定义： z esT
令： s j
则：z esT eT e jT
j 稳定区
[s] 不稳定区
0
z eT
z T
0 0 0
z 1 z 1 z 1
Im
稳定区
1
0
[z] 不稳定区
1 Re
结论：S平面的稳定区域在Z平面上的 影象是单位圆内部区域
s j
z eTs e( j )T
eT e jT z z
z x jy
z eT
z T
图参见P348
§7.5.2 离散系统稳定的充要条件是 zi 1
—— F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内
m
证明：
Φ(z) M (z) D(z)
(z i)
i 1 n
(z j)
n Cjz
j1 z j
K(z)
j 1
(z
1)K z
Z
1 s2
1 s
s
1 1
(z 1)K Tz
z
z
z
(
z
1)2
z
1
z
e T
(T 1 eT )z (1 eT TeT )
K
(z 1)(z eT )
T 1 0.368K (z 0.718)
(z 1)( z 0.368)
F(z)
G(z) 1 G(z)
z2
0.368K (z 0.718) (0.368K 1.368)z (0.264K
0.368)
G(z)
0.368K (z 0.718)
F(z) 1 G(z) z2 (0.368K 1.368)z (0.264K 0.368)
D(z) z2 (0.368K 1.368)z (0.264K 0.368) 0
D(w) w3 2w 2w 40 0
Routh
w3 1 2 w 2 2 40 w1 18 w 0 40
系统不稳定
(2) Z 域中的朱利 (Jurry) 稳定判据
直接根据离散系统的闭环特征方程 D(z)=0 的系数，判别其根 是否位于z平面上的单位园内，从而判断离散系统是否稳定。 朱利阵列见P353。
1 1
的双线性变换，得到 w 的代数方程就
可以应用劳斯判据判稳了。为了区别 s 平面下的劳斯判据，
称 w 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。
j 稳定区
[s] 不稳定区
0
z esT
Im
稳定区
1
0
[z] 不稳定区
1 Re
j
[w]
0
u
w
z z
1 1
w 变换
z
w
w
w z
1
1 1
z1
wz 11zww1 z1
设 z x j y w u jv
z
1 1
T
2 T
w w
w
2 T
2 z
z
1 1
双线性变换
w
z1 z1
x 1 x 1
jy
jy
x2 1 y2 j2xy ( x 1)2 y2
u
jv
[w] 虚轴
u0
x2 y2 1 ( x 1)2 y 2
0
x2 y2 1 [z] 单位圆
z平面单位圆
n
k
c(k)
C
j
k j
0
j1
j 1
— 必要性
c* (t)
n
C
j
k j
(tHale Waihona Puke Baidu
kT
)
k 0 j1
— 充分性
§7.5.3 离散系统的稳定判据
（1）w 变换及 w 域的劳斯稳定判裾
因劳斯判据不能直接套用，须引入另一线性变换：z w
推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z 的有理多
项式，经
z
w w