四、模糊集合的模糊程度——模糊熵

包含度为：
S ( A, B) 1
max(0, m ( x) m ( x))
A B x
M ( A)
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
这种包含度满足主导隶属度函数关系，当 mA ( xi ) mB ( xi ) 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导 隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。 而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这 两种极端情况之间，包含度的大小为： 0 < S ( A, B ) < 1 考虑匹配矢量A = (.2 0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7)。A几乎是B的子 mA ( x3 ) mB ( x3 ) .4 .3 .1 0 集，但不完全是，因为 所以， 0.1 10
V ( B) mB ( xi )
i 1
n
图7.7
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
2.包含度定理：
在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长 方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定 义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程 度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：
S ( A, B) Degree( A B) mF (2B ) ( A)
S(.,.)在[0,1]之间取值，其代表了多值的子集测度（包 含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
度量S(.,.)的两种方法：
(1)代数方法: 即失配法(fit-violation strategy) 假定X包含有100个元素：X={x1,…,x100}。而只有第一个 元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)>mB(x1)。直观 上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性为 S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的 子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相 对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者 说，A就越象是B的超集。直观上有：
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0， 表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐 增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式：
1
E ( A)
a b
l ( A, Anear ) 1 l ( A, Afar )
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义）
E ( A) k [ A( xi ) ln A( xi ) (1 A( xi )) ln(1 A( xi ))]
i 1 n
k>0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)：
A B if and only if
mA ( x) mB ( x)
for all x
如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A 就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。 显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即 白的,是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)。
1 3 1 1 7 2 3 17 7 A ( , ), Anear (0,1), Afar (1,0), a , b , E ( A) 3 4 3 4 12 3 4 12 17
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或 一段信息的不确定性。 模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 一般的定义[1]：
S ( A, B ) 1 1.1 11
类似可得：
S ( B, A) 1
1.3 10 2.3 23
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
(2)几何方法：
在图7.7中， 集合A或是位于F(2B)内, 或是在外头。 直觉上，当A接近F(2B)时, S(A,B)应接近于1，当A远 离F(2B)时, S(A,B)应该减小。 那么A与F(2B)之间的距离如何计算？
d ( A, F (2 B )) inf{d ( A, B) : B F (2 B )} d ( A, B* )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
1.模糊子集的几何表示
B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集F(2B)，它构成了 在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各 隶属度值mB(xi) 。可以用Lebesgue测度或体积V(B)来度量F(2B) 的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积：
（1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； （2）[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊 性应最大 C A （3）模糊集A与 距[1/2]的1远近程度是相同的，则 C 要求A与 A 的模糊程度一样 （4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A越 接近[1/2],A的模糊性越大； A越远离[1/2],A的模糊 性越小 。
SUPERSETHOOD( A, B) 1 S ( A, B)
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
失配数的计算： max(0,mA(x)-mB(x)) 归一化之后得到超集的最小度量：
SUPERSETHOOD( A, B)
max(0, m ( x) m
A x
B
( x))
M ( A)
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
模糊熵定理：
E ( A) M ( A Ac ) M ( A Ac )
模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各 自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西 方逻辑”的终止。 c c M ( A A ) 0, M ( A A ) n, E( A) 0 ） （