两角和与差的正弦、余弦、正切公式(公开课)
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一中
一、复习及导入：
1、诱导公式三 sin()_s_i_n___
cos()_c_o__s__
tan()__ta_n__
诱导公式五
sin(
)
c__o___s_
2
cos( ) s_i_n____
2、两角差的余弦公式 2
cos()co cso ssin sin
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
记：T (
+
)
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
ta n()?
tan[()]1t antan ttaann(( ))
= tanα-tanβ 1+tanαtanβ
∴ tan(α -β )=tanα -tanβ 1+tanα tanβ
2
( 5 ) s2 i n c 0 1 o 1 s c1 0 o s 6 s 7 i 0 n 0 si2n0co7s0co2s0si7n0
或 si1n6c0o1s10co1s6s0i1n10si2 n0 (70)si9n01
si1 n6 (011) 0si2n701
(6)1tan15 1tan15
记
T(
-
)
两角和与差的正切公式
tan(α +β )=1t -at na α nα +tt aa nn β β记：T(+ ) tan(α -β )=1t +a t n a α nα -t t a a n n β β记:T( - )
T 注思这意个考：公:已1式知必吗t须?an在定义=2域,求范围tan内(2 使 用) 的上值述能公用式。( )
3、s若 in5,(0,)c, o s 1,0(,0)
52
10 2
(1)求 cos()2()求 cos()
二、自主学习，合作探究
问题探究一
已知
？ cos()co cso s is nin
cos() = co cso ssin sin 未知
co s()
co[s ( )]
如何推导
c co o c c ss o o s )s is( s nii s n ni n ) (
试一试： co求 7s 5(独立完成，组内案核 ) 对
问题探究二
sin()?
sin()?
sin cos2
c coo ss2 co ssi n sin
sin s2 ic no s c o 2ssi n
sin()si n[()]用代
s in ( )s i s ni cn o sc )o (s co sc io n s () s in
试一试s： in1求 5,sin75(独立完成，组案 内 )
知识形成
口诀
余弦：同名积，符号反 正弦：异名积，符号同
两角和与差的余弦公式
C（ ）：cos()co cso s is nin
C（ ）：cos()co cso s is nin
两角和与差的正弦公式
S（ ）：sin()s in co sco ssin
2掌握公式的结构，尤其是符号.
试一试： ta求 n75(独立完成，组内案核 ) 对
问题探究四
为方便起见，公式 C(),S(),T()称为和 角公式，公式C(),S(),T() 称为差角公 式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？
S(α-β)
C 诱导
公式 (α＋ β)
弦切关系
T(α-β)
C 换元
诱导
(α-β) 公式
S(α+β)
弦切关系
T(α+β)
三、理论迁移
例1、已知 sin 3 , 是第四象限角，求
sin( ), co5s( ), tan( )的值。
解 ： 由 s i n = - 43 5,是 第 四 象 限 4的 角 ， 得
4
cos1sin21(5 3)25 4, 所 以tancsoins34
sc tao in s 4 ( (n 4 () 4 ))s cio 4 1stn c a4 nc ta o o ns sc ttas anio n n 4 4 s 4 4ssii n n 1 tan2t22a2n 5 415421222(34((5 353)34)1) 77110022 ;;7
（4）tan 12 tan 33 1 tan 12 tan 33 反思Leabharlann 纳这节课你有何收获和感受？
1 知识上：推导并理解了两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
2 方法上：领略到公式的正用、逆用
3 思想上：感受了转化与化归的数学思想
评价巩固
• 作业本：教材P137页：7、9、13(5)(7)(9)
• 课后思考探究：例1中，sin4()co4s()
那么对于任意角 ，此等式成立吗？若成 立，你会几种证明方法予以证明。
对比
1 符号 2 函数名称
S（ ）：sin()s in co sco ssin
问题探究三
思考：
tan()s i?n ( α +β )
cos(α+β )
sinαcosβ +cosαsinβ cosαcosβ -sinαsinβ
当 coscos0时 ， 分 子 分 母 同 时 除 以 c o s c o s
1tatn4an540 50ttaan1n15500
ta4 n 05 ( 10 ) 5 ta 6n 00 3
四、课堂达标检测
实力展现
1、教材131页2、3、4 2、化简求值 （1）s in 72 cos 18 cos 72 s in 12 （2）cos 72 cos 12 s in 72 s in 12 （3）cos 43 cos 77 s in 43 cos 167
例2、（公式的逆用）利用和（差）角公式化简计算 下列各式的值：
( 1 ) s7 i n c 2 4 o 2 s s4 i n c 2 7 o 2 ss in 7(242)si3n01
2
(2)co 2s 0 co 7s 0 si2 n0 si7 n0 c2 o s 0 7 ( ) 0 c9 o 0 s 0 (3)co 7s 4 si1 n4 si7 n4 co 1 s4 si1n4 (74 )si n6(0 )23 ( 4 ) s3 i n s 4 2 i n 6 c3 o c 4 s2 o 6 s co 3s4 (2)6co 6s0 1
一、复习及导入：
1、诱导公式三 sin()_s_i_n___
cos()_c_o__s__
tan()__ta_n__
诱导公式五
sin(
)
c__o___s_
2
cos( ) s_i_n____
2、两角差的余弦公式 2
cos()co cso ssin sin
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
记：T (
+
)
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
ta n()?
tan[()]1t antan ttaann(( ))
= tanα-tanβ 1+tanαtanβ
∴ tan(α -β )=tanα -tanβ 1+tanα tanβ
2
( 5 ) s2 i n c 0 1 o 1 s c1 0 o s 6 s 7 i 0 n 0 si2n0co7s0co2s0si7n0
或 si1n6c0o1s10co1s6s0i1n10si2 n0 (70)si9n01
si1 n6 (011) 0si2n701
(6)1tan15 1tan15
记
T(
-
)
两角和与差的正切公式
tan(α +β )=1t -at na α nα +tt aa nn β β记：T(+ ) tan(α -β )=1t +a t n a α nα -t t a a n n β β记:T( - )
T 注思这意个考：公:已1式知必吗t须?an在定义=2域,求范围tan内(2 使 用) 的上值述能公用式。( )
3、s若 in5,(0,)c, o s 1,0(,0)
52
10 2
(1)求 cos()2()求 cos()
二、自主学习，合作探究
问题探究一
已知
？ cos()co cso s is nin
cos() = co cso ssin sin 未知
co s()
co[s ( )]
如何推导
c co o c c ss o o s )s is( s nii s n ni n ) (
试一试： co求 7s 5(独立完成，组内案核 ) 对
问题探究二
sin()?
sin()?
sin cos2
c coo ss2 co ssi n sin
sin s2 ic no s c o 2ssi n
sin()si n[()]用代
s in ( )s i s ni cn o sc )o (s co sc io n s () s in
试一试s： in1求 5,sin75(独立完成，组案 内 )
知识形成
口诀
余弦：同名积，符号反 正弦：异名积，符号同
两角和与差的余弦公式
C（ ）：cos()co cso s is nin
C（ ）：cos()co cso s is nin
两角和与差的正弦公式
S（ ）：sin()s in co sco ssin
2掌握公式的结构，尤其是符号.
试一试： ta求 n75(独立完成，组内案核 ) 对
问题探究四
为方便起见，公式 C(),S(),T()称为和 角公式，公式C(),S(),T() 称为差角公 式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？
S(α-β)
C 诱导
公式 (α＋ β)
弦切关系
T(α-β)
C 换元
诱导
(α-β) 公式
S(α+β)
弦切关系
T(α+β)
三、理论迁移
例1、已知 sin 3 , 是第四象限角，求
sin( ), co5s( ), tan( )的值。
解 ： 由 s i n = - 43 5,是 第 四 象 限 4的 角 ， 得
4
cos1sin21(5 3)25 4, 所 以tancsoins34
sc tao in s 4 ( (n 4 () 4 ))s cio 4 1stn c a4 nc ta o o ns sc ttas anio n n 4 4 s 4 4ssii n n 1 tan2t22a2n 5 415421222(34((5 353)34)1) 77110022 ;;7
（4）tan 12 tan 33 1 tan 12 tan 33 反思Leabharlann 纳这节课你有何收获和感受？
1 知识上：推导并理解了两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
2 方法上：领略到公式的正用、逆用
3 思想上：感受了转化与化归的数学思想
评价巩固
• 作业本：教材P137页：7、9、13(5)(7)(9)
• 课后思考探究：例1中，sin4()co4s()
那么对于任意角 ，此等式成立吗？若成 立，你会几种证明方法予以证明。
对比
1 符号 2 函数名称
S（ ）：sin()s in co sco ssin
问题探究三
思考：
tan()s i?n ( α +β )
cos(α+β )
sinαcosβ +cosαsinβ cosαcosβ -sinαsinβ
当 coscos0时 ， 分 子 分 母 同 时 除 以 c o s c o s
1tatn4an540 50ttaan1n15500
ta4 n 05 ( 10 ) 5 ta 6n 00 3
四、课堂达标检测
实力展现
1、教材131页2、3、4 2、化简求值 （1）s in 72 cos 18 cos 72 s in 12 （2）cos 72 cos 12 s in 72 s in 12 （3）cos 43 cos 77 s in 43 cos 167
例2、（公式的逆用）利用和（差）角公式化简计算 下列各式的值：
( 1 ) s7 i n c 2 4 o 2 s s4 i n c 2 7 o 2 ss in 7(242)si3n01
2
(2)co 2s 0 co 7s 0 si2 n0 si7 n0 c2 o s 0 7 ( ) 0 c9 o 0 s 0 (3)co 7s 4 si1 n4 si7 n4 co 1 s4 si1n4 (74 )si n6(0 )23 ( 4 ) s3 i n s 4 2 i n 6 c3 o c 4 s2 o 6 s co 3s4 (2)6co 6s0 1