第6章 机械波

第6章 机械波
一、基本要求
1．理解波动方程是如何建立的；
2．熟练掌握振幅、周期、频率、波长、波速、相位等描述机械波的物理量；
3．掌握从某点的振动到振动的传播，即从振动到波动，会由波源振动方程写出相应的波动方程；
4．之，也掌握波动中的某点的运动规律，即从波动到振动，会由波动方程写出某点的振动方程；
5．理解波的干涉及相位差与波程差之间的关系；了解驻波及其形条成件。

二、基本内容
（一）本章重点和难点：
重点：掌握平面简谐波的波动方程建立及相关物理量的求解。

难点：从已知的某点振动规律推出波动方程，相反，从波动方程求某点的振动规律。

（二）知识网络结构图：
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎪⎪⎪
⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧波腹波节
驻波表达式驻波波程差相位差相干条件波的干涉物理意义波动方程
平面简谐波波长波速角频率频率周期基本物理量纵波横波机械波的两种形式介质波源机械波产生的条件波动,,,,:
（三）容易混淆的概念：
1.横波和纵波
横波是指波传播方向和质点振动方向相垂直的机械波，如绳波；纵波是指波传播方向和质点振动方向相平行的机械波，如声波。

2.同相和反相
同相是指两列相干波干涉加强，相位差是π的偶数倍，合振幅最大；反相是指两列相干波干涉减弱，相位差是π的奇数倍，合振幅最小。

3.能量密度、能流和能流密度
能量密度ω是单位体积内波动能量；能流P是单位时间内垂直通过某一面积的能量；能流密度(波的强度)I是垂直通过单位面积内的能流。

（四）主要内容:
1．波动的基本概念
（1）机械波：机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。

形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。

（2）波速u（相速）：振动状态（即相位）在单位时间内所传播的距离称为波速或相速。

它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。

（3）波长λ：沿波传播方向两个相邻的相位相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。

它反映波在空间上的周期性。

（4）波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间，它反映波在时间上的周期性。

（5）波的频率ν：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相等。

（6）波速、波长、周期、频率之间的关系：ν
λu
uT ==
2．平面简谐波
(1)简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。

各种复杂的波形都可看成由许多不同频率的简谐波的叠加。

(2)平面简谐波的波函数：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ϕλπϕω)(2cos )(cos x T t A u x t A y
其中，“–”表示波沿x 轴正方向传播；“+”表示波沿x 轴负方向传播，u 作为速率。

3．波的干涉
（1）波的干涉现象：波在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的现象称为波的干涉现象，能产生干涉现象的波叫做相干波，相应的波源叫做相干波源。

（2）波的相干条件：1)频率相同；2)振动方向相同；3)相位相同或相位差恒定。

（3）干涉加强和减弱的条件：两相干波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强
或减弱的条件由两波在该处的相位差
)
(π
21212r r --
-=∆λ
ϕϕϕ决定。

相位差与波程差之间的关系：x ∆=
∆λ
π
ϕ2
当相位差满足π的偶数倍，即：πϕk 2±=∆时，振幅最大，21A A A MAX +=； 当相位差满足π的奇数倍，即：πϕ)12(+±=∆k 时，振幅最小，21A A A MIN -=。

若两相干波源的振动的初相位相同，干涉条件也可用波程差表示：
⎪⎩⎪⎨
⎧
=-=+±+==±=-=,...)
2,1,0(||,2)12( ),,2,1,0(212
112k A A A k A A A k k r r λ
λδ
4．驻波
两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。

驻波有波节和波腹，相邻两波节或波腹之间的距离为2/λ。

（五）思考问答：
问题1 什么是波动？振动与波动有什么区别和联系？
答：波动是振动状态（相位）和能量在空间的传播，振动是波动的源，没有振动，也就无所谓波动。

但波动描述的仅仅是某一个点的振动规律，而波动描述了波线上所有点的集体振动规律。

问题2 关于波长的概念有三种说法，试分析它们是否一致。

（1） 波长是指同一波线上，相位差为2π的两个振动质点之间的距离； （2） 波长是指在一个周期内，振动所传播的距离；
（3） 波长指的是横波的两个相邻波峰（或波谷）之间的距离；纵波的两个相邻密部（或
疏部）对应点之间的距离。

答：这三种说法本质上一致，只是角度不同而已。

波动中任一质点任一时刻的某种振动状态（相位），就是波线上后一个质点下一个时刻所应具有的状态。

当该质点完成一次全振动，即一个周期，该质点最初那个状态就被传播到λ==∆uT x 处，此时两质点的震动状态相同，其相位差πλ
π
ϕ22=∆=
∆x ，满足这个距离的恰是横波中两个相邻波峰（或波谷）之间的
距离，也是纵波中相邻两个密部（或疏部）之间的距离。

问题3 机械波的波长、频率、周期和波速四个量中， （1） 当同一介质中哪些量是不变的？
（2） 当波从一种介质进入另一种介质时，哪些量是不变的？
答：在机械波中，如波源相对介质静止，则波的周期与频率由波源决定，与介质性质无关，但波速则取决于介质的力学性质和环境温度，与波的频率和周期无关（注：本处是指非色散波，光波、水波和固体中的高频声波都存在色散现象，即波速与波的频率有关），对确定介质来说波速是常量，而波长则与波源和介质均有关。

由此可知：
（1） 机械波在同一介质中传播时，波长、频率、周期和波速四个量均不变。

（2） 当波从一种介质进入另一种介质时，周期与频率不变。

问题4 试判断下面几种说法，哪些是正确的？哪些是错误的？ （1） 机械振动一定能产生机械波；
（2） 质点振动的速度是和波的传播速度相等的； （3） 质点振动的周期和波的周期数值时相等的； （4） 波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上。

答：（1）振源和弹性介质是产生机械波的两个必然条件，因此只有振源并不能产生机械波，如声波就不能在声波中传播，但电磁波即可在真空也可在介质中传播，只是速度不同而已，这是机械波和电磁波之间的一个重要区别。

（2）这是两个完全不同的概念，无所谓相等还是不相等，首先波速描述了振动状态传播的快慢而振速描述了振动质点运动的快慢，其次，质点的振动速度随时间作周期性变化，而
波在各向同性介质中传播速度是不变的。

（3）在波动中一个完整波形通过波线上某点所需要的时间，通常称为波的周期，在数值上就等于波动中每个质点的振动周期，也就是说，波动中的任一质点每完成一次全振动，波就前进一个波长的距离，一般将振动周期称为时间周期，波动周期称为空间周期，此外，当波源相对介质静止时，波的周期在数值上还等于波源的振动周期。

（4）波动方程中的坐标原点可以选在波线上任一点处，不一定是波源。

由于波动方程中的ϕ理解为坐标原点处质点的振动初相，因而选择不同点为坐标原点，ϕ也应该不同，需要说明的是波线任一点振动规律不会因此改变。

问题5 机械波通过不同媒质时，波长λ、频率v 和波速u ，这些量中哪些要改变，哪些不改变？
答：机械波的频率仅由波源的性质决定；传播速度仅由传播介质的性质和温度决定；故而，机械波通过不同介质时，其频率不变，波速变化。

根据v
u =λ，波长也会发生变化。

问题6 波速u 和振动速度v 具有本质的区别吗？
答：波速u 和振动速度v 具有本质的区别：
⑴波速u 是相位的传播速度，不是质量元在平衡位置附近的振动速度t
y v ∂∂=
； ⑵在同一各向同性的介质中波速是常量，而振动速度v 是时间的周期函数； ⑶u 与v 的方向不一定相同。

问题7 波在介质中的传播速度u =v λ，那么，是否可以利用提高频率v 的方法来提高波在此介质中的传播速度？
答：不能。

波速的大小只取决介质的性质，若提高频率v ，则其波长λ必相应减小。

问题8 平面简谐波的波函数中u x 表示什么,ϕ
ω+u x 又表示什么？
答：分析波函数)](
cos[ϕωω+-=u x
t A y ,
u
x
表示离坐标原点为x 距离处的质量元的振动在
步调上落后原点处质量元振动的时间，即波从原点处传播到x 处所需的时间；波函数可变化
为：
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+-=)(cos ϕωωu x
t A y 显然，
ϕω+u
x
表示离坐标原点为x 距离的质量元振动的初相位。

问题9 在建立波函数时，如果选取不同质点的平衡位置作为坐标原点，写出的波函数是否有区别？
答：这个区别反映在波函数中的初相位的不同，数学关系就是坐标平移的关系。

设A 点处质点的振动表达式为：
)cos(ϕω+=t A y A
若波沿x 方向传播，设传播速度为u ，以A 点为坐标原点，波函数为： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛-
=ϕωu x t A y cos
根据波函数可得B 点处质点的振动表达式为： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ϕωωu r t A y B cos 若以B 点为坐标原点，波函数为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕωωu r u x t A y 'cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ϕωu r x t A 'cos . 显然有r x x +='
，满足坐标平移关系，式中x '为质点相对B 点的坐标。

问题10 简谐运动系统的能量与波在传播介质体积元（质量元）的能量有何不同？ 答：该问题对出学者很容易将二者混淆，比较难区分。

⑴在振动中，振子的动能和势能不相同。

孤立的谐振子势能最大时，动能为零；势能最小时，动能最大；势能和动能相互转化，总机械能守恒。

这表明系统储存着一定的能量。

⑵在波动过程中，质量元的动能和势能相同。

传播介质中质量元内波的能量，其势能是由体积元的形变而产生，势能和动能同时达到最大和最小，总机械能不守恒，它在零至最大之间周期性地变化，不断地将来自波源的能量沿传播方向传播出去。

这表明传播介质本身并不储存能量，仅起到传播能量的作用。

三、解题方法
1．已知波源处质点运动方程，求简谐波的波动方程，要分清波传播的方向，知道传播方向上距波源任意x 处质点比波源早振动或晚振动的时间
u
x
，即可写出波动方程式。

2．已知简谐波的波动方程，求距波源某处质点运动方程，只要将具体位置值代入波动方程即可。

3．已知简谐波的波动方程，求某时刻的波形图，只要将具体时刻代入波动方程即可。

4．求两个同方向、同频率简谐运动的合成，其合振动仍然是一个简谐振动，且合振幅可用余弦定理求解，合初相由几何图正切关系式求解。

四、解题训练
1．波源在原点处做简谐振动，其运动方程为)240cos(100.43
t y π-⨯=，y 单位为m ，t 的单位为s ，它所形成的波以1
30-⋅s m 的速度沿一直线传播。

（1）求波的周期及波长；（2）写出波动方程。

解：（1）m A 3
100.4-⨯=，
1240-=s πω，s T 120
1
2=
=
ω
π
，130-⋅±=s m u ，m T u 4
1=
⋅=λ 已知波源的振动规律为m t t A t y πω240cos 100.4cos )(3
-⨯==
波动方程为m x
t u x t A x t y )30
(240cos 100.4)(cos ),(3
πω-⨯=-= 2.波源在原点处做简谐振动，周期为s 02.0，若该振动以1100-⋅s m 的速度沿直线传播，设
0=t 时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距波源m 0.15和m 0.5两处质点的振动方程和初相；（2）距波源分别为m 0.16和m 0.17的两质点间的相位差。

解：（1）已知s T 02.0=，1100-⋅=s m u
波源在原点，其振动规律为)cos()(0φω+=t A t y
其中11002-==
s T ππω，2
0π
φ-=（从旋转矢量可判断） 对应的波动方程为]2
)(cos[),(π
ω--=u x t A t x y ，其中波长
m s s m uT 202.01001=⨯⋅==-λ
m 15处的振动方程为)5.15100cos(]2
)10015(100cos[),15(πππ
π-=--
=t A t A t y 初相πφ5.150-=
m 0.5处的振动方程为)5.5100cos(]2
)1005(100cos[),0.5(πππ
π-=--
=t A t A t y 初相πφ5.50-= （2）ππ
λ
π
φ=-=∆=∆2
16
1722x
3.已知一横波，0=t 时波形如下图，振动向右传播，波速1
2-⋅=s m u ，求：（1）m
x 10=处的振动规律；（2）根据求得的振动规律写出波动方程；（3）在得到的波动方程中，如果再将m x 2=代入，物理意义是什么？
解：（1）设m x 10=处的振动规律为)cos()(0φω+=t A t y
根据波向右传播，自0=t 开始，10=x 点开始向上运动，所以旋转矢量的初相
2
0π
φ-
=，m 2=λ，s u
T 122==
=
λ
，121
22-===s T ππ
πω
从而m t t y )2
2cos(2.0)(π
π-
=
（2）根据以上m x 10=处的振动规律，写出对应波动方程。

一般平面波的波动方程为
])(cos[),(00
φω+--
=u
x x t A t x y 从而：m x t t x y ]2
)21(2cos[2.0),(π
π---
= （3）m x 2=代入上述波动方程，即得该处的振动方程
m t m t t y )2
32cos(2.0]2)212(2cos[2.0),0(ππππ-=---
= 4.如题图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P 点的振动方程为P y =A cos(0ϕω+t )． (1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距P 点距离为b 的Q 点的振动方程．
解: 本题中的速度u 理解为速率（速度大小） (1)一般波动方程为])(cos[00
φω+--
=u
x x t A y ，其中0x 为已知的振动点。

从而图(a) 波动方程为：
])(cos[0φω+--
=u l
x t A y 图(b)波动方程为： ])(cos[0φω++
=u
x
t A y (2) 如题图(a)，则Q 点的振动方程为：
])(cos[0φω+-=u
b
t A A Q
如题图(b)，则Q 点的振动方程为：
])(cos[0φω++=u
b
t A A Q
5.一列机械波沿x 轴正向传播，0=t 时的波形如题图所示，已知波速为s m /10，波长为m 2，
求：(1)波动方程；
(2) P 点的振动方程及振动曲线； (3) P 点的坐标；
(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间。

解: 由题图可知1.0=A m ，0=t 时，
0,200<=
v A y ，∴30π
φ=，由题知：m 2=λ，s m u /10=
则Hz u 52
10
==
=λυ ∴ ππυω102==
(1)波动方程为：]3)10(10cos[.01π
π+-=x t y m
(2)由图知，0=t 时，0,2<-=P P v A y ，∴34π
φ-=P (P 点的位相应落后于0点，故
取负值)
∴P 点振动方程为)3
4
10cos(1.0ππ-=t y p (3)∵ πππ3
4|3)10(100-=+-=t x t ∴解得： 67.135
==
x m (4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题所示，则由P 点回到平衡位置应经历的位相角：
ππ
π
φ6
523
=+
=
∆ ∴所属最短时间为
12
1
106/5==
∆=
∆ππω
φ
t s
五、能力训练
1.横波的波形及传播方向如本题图所示。

试画出点A 、B 、C 、D 的运动方向。

并画出经过
1/4周期后的波形曲线。

2.图（a ）表示0=t 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b ）为一质点的振动曲线。

则图（a ）中所表示的0=x 处质点振动的初相位与图（b ）所表示的振动的初相位分别为（ ）
（A ）均为零 （B ）均为
2π （C ）均为2π- （D ）2π与2π- （E ）2π-与2
π
3.机械波的表达式为)06.06cos(05.0x t y ππ+=，式中y 和x 的单位为m ，的单位为s ，则（ ）
（A ）波长为m 5 （B ）波长为110-⋅s m （C ）周期为
s 3
1
（D ）波沿x 轴正方向传播 4.一平面简谐波，沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u ，设4
T
t =时刻的波形如图所示，则该波的表达式为（ ）
（A ）])(cos[πω+-=u x t A y （B ）]2)(cos[π
ω--=u x t A y
（C ）]2)(cos[πω-+=u x t A y （D ）])(cos[πω++=u
x
t A y
5.如图所示，两列波长为λ的相干波在点P 相遇。

波在点1s 振动的初相是1φ，点1s 到点P 的距离是1r 。

波在点2s 的初相是2φ，点2s 到点P 的距离是2r ，以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ ） （A ）πk r r =-
12 （B ）πφφk 212=-
（C ）πλπφφk r r 2/)(21212=-+- （D ）πλπφφk r r 2/)(21212=---
6.一横波在沿绳子传播时的波动方程为)5.2cos(20.0x t y ππ-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s 。

（1）求波的振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上的质点振动时的最大速度；（3）分别画出s t 1=和s t 2=时的波形，并指出波峰和波谷。

画出m x 0.1=处质点的振动曲线并讨论其波形图的不同。

7.已知一波动方程为)210sin(05.0x t y -=π，（1）求波长、频率、波速和周期；（2）说明0
=x
时方程的意义，并作图表示。

8.波源作简谐振动，周期为s 02.0，若该振动以1100-⋅s m 的速度沿直线传播，设0=t 时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距波源m 0.15和m 0.5两处质点的运动方程和初相；（2）距波源分别为m 0.16和m 0.17的两质点间的相位差。

9.图示为平面简谐波在0=t 时的波形图，设此简谐波的频率为Hz 250，且此时图中点P 的运动方向向上。

求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点为m 5.7处质点的运动方程与0=t 时该点的振动速度。

10.如图所示为一平面简谐波在0=t 时刻的波形图，求：（1）该波的波动方程；（2）P 处质点的振动方程。

11.一平面简谐波，波长为m 12，沿x 轴负方向传播。

左下图示为m x 0.1=处质点的振动曲线，求此波的波动方程。

12.右上图中（Ⅰ）是0=t 时的波形图，（Ⅱ）是s t 1.0=时的波形图。

已知s T 1.0>，写出波动方程表达式。

13. 波源作简谐运动，其运动方程为)240cos(004.0t y π=，式中y 的单位为t m ,的单位为
s ，它所形成的波以s m /30的速度沿一直线传播.（1）求波的周期及波长；
（2）写出波动方程。

14.平面简谐波的波动方程为)24cos(08.0x t y ππ-=，求：（1）s t 1.2=时波源及距波源
m 10.0两处的相位；（2）离波源m 80.0及m 30.0两处相位差。

15.如图所示，两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A 、
B 两点。

设它们的相位相同，且频率均为Hz 30=ν，波速
150.0-⋅=s m u ，求在P 点处两列波的相位差。

16.如图所示，两相干波源分别在P 、Q 两点，它们发出频率
为ν，波长为λ，初相相同的两列相干波，设λ2
3=PQ ，R 为PQ 连线上的一点。

求：（1）自P 、Q 发出的两列波在R 处的相位差；（2）两波在R 处干涉时的合振幅。

17.两相干波波源位于同一介质中的A 、B 两点，如图所示。

其振幅相等、频率皆为Hz 100，B 比A 的相位超前π。

若A 、B 相距m 0.30，波速为1400-⋅s m ，试求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

18.一弦上的驻波方程式为)550cos()6.1cos(03.0t x y ππ=，
（1）若将此驻波看成是由传播方向相反、振幅及波速均相同的两列相干波叠加而成，求它们的振幅与波速；（2）求相邻波节之间的距离；（3）求s t 3100.3-⨯=时位于m x 625.0=处质点的振动速度。

六、参考答案
1.
A 向下，
B 向上，
C 向上，
D 向下； 2.
D ； 3.
C ； 4.
D ； 5. D ；
6.(1)m 20.0 ，15.2-⋅s m ，Hz 25.1 ，m 0.2 ；（2）15
7.1-⋅s m ；
7.（1）m 14.3 ，Hz 5 ，1
7.15-⋅s m ，s 2.0； 8.（1）m t A y )5.15100cos(
1ππ-= ，πφ5.1510-= ，m t A y )5.5100cos(2ππ-= ，πφ5.520-= ；
（2）π； 9.（1）m t y )1213500cos(10.0ππ+
+= ；m t y )12
13500cos(10.0ππ+= ，16.40-⋅s m ； 10.（1）m x t y ]2)08.0(52cos[04.0ππ--= ；（2）m t y )2
52cos(04.0ππ+=； 11.m x t y ]2
)0.1(6cos[40.0ππ-+=； 12.m x t y ]2)0.24.0(2cos[10.0ππ+-=； 13.（1）m s T 25.0,1033.83
=⨯=-λ；（2）m x t y )8240
cos(004.0ππ-=； 14.（1）πϕ4.81=，πϕ2.82= ；（2）πϕ=∆； 15. π8.1；
16.（1）π3；（2）21A A -；
17.AB 连线间距A 点m 1，m 3，……，m 29，共15个点；
18.（1）m 2105.1-⨯，18.343-⋅s m ；（2）m 625.0；（3）12.46-⋅-s m。