第4讲 不含独立源电路的等效

uGeq= i = uG1 + uG2 + + uGn= u(1/R1+1/R2+ + 1/Rn) 即 1/Req= 1/R1+ 1/R2+ + 1/Rn
Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn= Gk= 1/Rk 等效电导等于并联的各电导之和
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并联电阻的分流公式
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
电压与电阻成正比
这是分压公式的一般形式，式中的分母即为串联电路的总（等效） 电阻。 节点电压（node voltage)： 各节点到参考节点间的电压降。记 为una。
b
+ us -
R1
+
a
R2 uac
c
3
根据上述特点，电子电路有一种简化的习惯画法：电源不用 图形符号表示而改为只标出其极性及电压值。 b +us
R1R2 R3R2 R3 R1 R1R3 R31 R1 R3 R2 R2 R R R3 R2 R3 R1 RR R23 1 2 R2 R3 2 3 R1 R1
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上式是已知Y形电路的电阻， 计算其等效的△形电路 中各电阻的公式。 同理， 利用RY=R△=G△-1，可得出已知△形电路的电阻， 计算其相应等效的Y形电路中各电阻的公式为 R31R12 R1 R12 R23 R31 R23 R12 R2 R12 R23 R31 R23 R31 R3 R12 R23 R31 若Y形电路的三个电阻相等，即R1= R2 = R3 = RY ，则 其等效△形电路的电阻也相等，即R12 = R23 = R31=R△。其 关系为
第4讲 不含独立源电路的等效变换
电阻电路：由线性时不变电阻、线性受控源、和独立源组 成的电路称为时不变的线性电阻电路，简称为电阻电路。 等效：如果电路N1的端口伏安特性与电路N2的端口伏安特 性完全相同，则称电路N1和N2是端口等效的；或称电路N1与N2 互为等效电路。 + u i i
电路N1
伏安特性相同
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为使两者等效，要求二者的端口伏安特性完全相同。由 于这两个二端口可用电阻参数矩阵R或电导参数矩阵G描述。
因此，只要二者的R或G矩阵相同即可。
首先求Y形电路的RY。由图1.6-6(a)，根据KVL有 u13 =R1 i1 + R3(i1+ i2)=(R1 + R3) i1+ R1 i2 u23= R2 i2+ R3(i1+ i2)= R3 i1+(R2 + R3) i2 则
I 4 1 I 3 1 I 2 1 I 1 1 12 3 2 4 8 8 R 2R
②用分压方法做 U2 1 U4 U1 3 V 2 4 12 _ 3 _ I4 I 1 8 I 4 2R R
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四、 等效电阻 前面已叙述了等效电阻的概念和一些计算方法， 现在讨 论一般电路。 如有一个不含独立源的一端口电阻电路 N，如
U1
U2
例2： 图示为双电源直流分压电路，试说明Ua 可在+15V至-15V间的连续变化。1≥α ≥0
解：
b +us
15V
R
αR
c
b
a
电位器 （potentiometer）
R

a
ua
αR
15V d
-us
c
当滑动端a移到b时，ɑ=1，Ua=15V 当滑动端a移到c时，ɑ=0，Ua=-15V 当滑动端a在其他位置时，计算如下：
b
+ us -
R1
+
a
R1
来自百度文库
uac
a
R2
c
ua
c
+150V i
例1： 空载直流分压电路如图， R1=R2=R3=100Ω，求U1，U2。 解： R2 R3
U1 150(
R3 U 2 150( ) 50V R1 R2 R3 º
R1 R2 R3
) 100 V
1 2
R1 R2 R3 4
则
G△ =
1 + 1 R31 R12
– 1 R12
– 1 R12
1 + 1 R23 R12
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为使Y形电路与△形电路等效， 必须有 G△=GY=RY -1 即 1 + 1 R31 R12 – 1 R12
– 1 R12
1 + 1 R23 R12
R1 +R3 = R3
R3
-1
R2 +R3
比较上式等号两边两个矩阵中的元素， 可得 R1R2 R3 R2 R3 R1 R1R2 R12 R1 R2 R3 R3
u1=R11i1 +R12i2 u2 = R21 i1 +R22i2 i1=G11u1 +G12u2 i2 = G21 u1 +G22u2
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六、 电阻Y形电路与△形电路的等效变换
图 (a)中，电阻R1、 R2 、 R3组成Y形（或称T形、 星形）联 接电路；图(b)中， 电阻R12 、 R23 、 R31组成△形(或称π形和三角 形）联接电路。 Y形电路和△形电路都是通过三个端子与外部相连的， 是两 个典型的三端电阻电路。也可看成是两个具有公共端子的二端口电 阻电路。
图1.6-8所示。设其端口电压u与电流i为关联参考方向，则其端
口等效电阻可定义为
def Req
u i
+ u -
i N
如果该端口是输入端口，也称其为输入电阻或入口电阻； 如果该端口是输出端口，也称其为输出电阻或出口电阻。
式(1.6-8)表明， 一端口电路N的端口伏安特性为
u= Req i
电流分配与电导成正比
Gk ik i Gk
对于两电阻并联 i º i2 i1
R1 R2
i1
i2
1 / R1 R2 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2
1 / R2 R1 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2
º
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三. 电阻的串并联 串、并联的概念清楚 , 灵活应用。 4 例1 º 2 3 R = 4∥(2+3∥6) = 2 R º 例2 º 6 40 º R º 40 40 30 30
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五、 线性二端口电阻的等效电路
下面讨论对给定的任一线性二端口电阻电路， 如何用元 件实现其等效电路。
考虑如图所示的线性二端口电阻电路， 其电阻参数方程
为 u1=R11i1 + R12i2 u2 =R21 i1 +R22i2 (1.6-10) (1.6-11)
+ u1 -
i1 N
由欧姆定侓及KVL： RI-15-15=0 UA=UAD=αRI-15 I=30/R 5 这为沿acd路径算得的结果
二. 电阻并联 (Parallel Connection)
i
+ u _ G1 i1 G2 i2 Gk ik Gn in 等效 + u _
i
Geq
由KCL:
i = i1+ i2+ + ik+ + in= u Geq
R º
30 30
R = (40∥40+30∥30∥30) = 30
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例1 + 12V _
I1
I2 R
I3 R
I4 + 2R U4 _ 求：I1 , I4 , U4
+ + 2R U 2R 2 _1 2R U _
解： ① 用分流方法做 I 1 12 R
U 4 I 4 2R 3 V
+ u -
电路N2
1
在电路分析中，串联电路的分压公式和并联电路的分流公 式是两个很有用的公式。在电子电路中常需多种不同数值及极 性的直流工作电压，对信号电压的大小也常需加以控制。
一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ + u1 +
u2 R2 i R1 由KVL及欧姆定律得：
RY R2 + R3 R3
R3 R2 + R3
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对于△形电路， 直接求G△方便。由图1.6-6(b),
根据
1 1 1 1 1 i1 u13 (u13 u23 ) ( )u13 u23 R31 R12 R31 R12 R12 1 1 1 1 1 i2 u23 (u13 u23 ) u13 ( )u23 R23 R12 R12 R23 R12
i2
u2 -
+
从式(1.6-10)和(1.6-11)可看出， 端口电压不仅与本端口 电流有关， 而且与另一个端口的电流也有关。 式(1.6-10)可 解释成一线性电阻R11和受电流i2控制的CCVS相串联的支路；
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同样， 式(1.6-11)可以解释为一线性电阻R22和受电流i1控 制的CCVS相串联的支路。 因此， 可以利用图1.6-12(b)的等 效电路来表示图(a)的二端口电阻。 同理， 也可以利用二端口 电阻的电导参数方程， 推出用电导参数表示的等效电路，如 图1.6-12(c)所示。
N
u
u u1 u2 R1i R2i
u i R1 R2
串联电阻中的任一电阻的电压等于总电 压乘以该电阻对总电阻的比值。 2
-
-
R1 u1 u R1 R2 R2 u2 u R1 R2
推广到n个电阻串联，不难得出第k个电阻的电压为：
Rk Rk uk u u Rk Req
R△=3RY
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第4讲 不含独立源电路的等效变换
结
作业：P61
束
1-21、1-23
预习:
含独立源电路的等效
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