构造几何图形解无理方程_组_

三、构造椭圆
例 5 解方程
x2 + 4x + 8 + x2 - 8x + 20 = 10. 解: 将原方程变形为方程组
(x + 2)2 + y2 + (x - 4)2 + y2 = 10 (1)
y2 = 4
( 2)
( 1) 式的几何意义是: 动点 P(x , y) 到两定
点 F1 (- 2, 0) 与 F2 ( 4, 0) 的距离和为常数 10, 由 |
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上海中学数学 # 2008 年第 4 期
构造几何图形解无理方程( 组)
225300 江苏省泰州市森南新村 于志洪 汤晓燕
在解无理方程( 组) 时, 若能 通过构 造几何 图形, 把问题转 化成 研究 几何 图形 的性 质 或位 置关系来解, 则可简化过程, 提高效率.
现分类举例说明如下:
一、构造直角三角形
1? 2
5.
经检验 x =
1+ 2
5 是原方程的根.
二、构造圆
例 3 解方程 2 x2 - 121+ 11 x2 - 4= 7 3x. 析: 这道方程如按常规的方法来处理, 其过 程较繁. 如仔细琢磨其中数 所含的信 息, 构造 一
图形, 就可以另辟蹊径, 使解法新颖、形象. 解: 如 图 3, 作 直
x 2 + 1 + y2 + 16 = 13. 由 vBDM V vMN A , 可知 y = 4x , 于是求出 x = 152. 经检验
知x =
12 5
是原方程的根.
例 2 解方程 x =
x-
1 x
+
1-
1 x
.
解: 由
x-
1 x
2
+
1
2
=
x
x 2,
1-
1 x
2
+
1
2
=
1,
x
可构造出两个有
公 共 边 的 Rt vACD
=
R0 ( a) =
[
1 2
R(
a)
]
=
[
1 2
R( a) +
1 2
]
.
所以结论 3) 成立.
定理 1 正整数 M 存在公差为 2 的正整数
等差分拆的充要条件是
M
是大于
8
的合数且
M 2
不是素数.
证明 由( 1) 式可以看出, M 存在公差为 2
即 b A D 2 - c2 + c A D 2 - b2 = aA D , 把这个
究了公差为 1的情形, 本文将研究公差为 2 的情
形, 即给出 M 的全部 公差为 2 的正 整数分 拆及
其组数, 就是求出
M = a1 + (a1 + 2) + (a1 + 4) + ,+ [ a1 + 2(n- 1)] ,
即 M = n( n + a1 - 1) ( M 是已知的正整数, n, a1
较得: CD = 7 3 , 在 vA CD 中, 依 余弦 定理 得
cos NCA D =
22 + 112 - ( 7 2 @ 2 @ 11
3) 2
=
-
1 2
,
_ NCA D = 120b. 由正弦定理得 x = AB =
73 sin120b
=
14, 经检验知, x =
14 为原方程的根.
例 4 若 a \ b > c 且 a < b + c, 解方 程
I N* , n \ 3)
( 1)
的全部解( n, a1 ) 及其组数. 本文用 R( a) 表示正整数 a 的全部正约数的
个数, 用 R0 ( a) 表示正整数 a 的全部小于 a 的正 约数的个数, 用 R1 ( a) 表示正整数 a 的全部不大
于 a 的正约数的个数; 用[ x ] 表示不大于 x 的最
方程与原方程比较, 知 AD = x, 在 vABC 中,
AD =
2R =
sin
a N CA
B
,
S
v
AB C
=
1 2
bc
sin N CA B , 且 S vA BC =
p ( p - a) ( p - b) ( p - c)
p=
a+ b+ c 2
,
_ AD =
abc
= x.
2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c)
.
证明 1) , 2) 即文[ 5] 引理 1, 2.
3) 当 a 是完全平方数时, R( a) 是奇数,
R1 ( a) =
R0 ( a) +
1=
[
1 2
R( a) ]
+
1=
[
1 2
R(
a)
-
1 2
]
+
1=
[
1 2
R( a)
+
1 2
]
.
当 a 不是完全平方数时, R( a) 是偶数, R1 ( a)
大整数.
引理 设 正整 数 a 的标 准分 解式 为 a =
k
0p
ai i
(
pi
是互不相同的素数, ai
I
N* , i =
1, 2,
i= 1
,, k) , 则
k
1) R( a) = 0 ( ai + 1) ; i= 1
2) R0 ( a) =
1 2
R(
a)
;
3) R1 ( a) =
1 2
R(
a)
+
1 2
AB # CD = AD # BC,
图4
上海中学数学 # 2008 年第 4 期
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公差为 2 的正整数等差分拆
442001 湖北十堰东风教育集团第一中学 甘志国
把正整数 M 表示成一列成等差数列 ( 至少
三项) 的正整数之和的形式, 就叫做 M 的等差分
拆. 文[ 1 - 3] 研究了这个问题, 近期文[ 4] 还研
径为 AB = x 的 圆, 在
AB 的两侧分别取 C、 D , 使 AC = 2, A D =
11, 则 BC = x 2 - 4,
BD = x2 - 121, 由
托勒 密 定 理 得: AB #
CD = AC # BD + AD #
图3
BC, 即 x # CD = 2
x 2 - 121 + 11 x2 - 4. 将此 式与 原 方程 比
和 Rt vBCD ( 如 图
2), 则 AB =
x-
1 x
+
1-
1 x
图2
= x . 又 S v ABC =
1 2
x # 1 # sin NA CB =
1 2
A
B
#
1 x
=
1 2
x
#
1 x
=
1 2
x , 则 sin NA CB = 1, NA CB = 90b.
由勾股定理 12 + ( x ) 2 = x 2 , 解之得 x =
b x 2 - c2 + c x 2 - b2 = ax .
解Baidu Nhomakorabea 如图 4, 以 a,
b, c 为 边 长 作 vABC,
使 BC = a, CA = b, AB
= c, 且 a \ b > c, 分别
作 AC、BA 的垂线交 于
D 点, 于 是可构 造如 图
4 所 示的 圆 O, 则 由 托
勒密定理得, AC #BD +
F1 F2 | = 6 < 10, 所以点 P 在以 F1 、F2 为焦点, 长
轴为
10
的椭圆上,
方程为(
x
- 1) 25
2
+
y2 16
=
1(3) .
将 y2 =
4 代入(3) 中, 得 x =
1?
5 2
3, 经检
验, x =
1?
5 2
3 是原方程的根.
综上所述: 应用构造几何图形解无理方程,
关键在于根据题设及所求题 的结构 特征去构 造
相适应的图形求解即可. 此 法数形结 合, 直观 具 体, 新颖别致, 值得介绍.
参考资料
[ 1] 于 志洪. 构造 圆锥 曲线 求 最值 [ J] . 上 海中 学 数 学 , 2005, ( 3) .
[ 2] 蔡惠萍. 几何图形在代数解题中 的应用[ J] . 数学 通 报, 2004( 3) .
例 1 解方程 x2 + 1 + = 13.
解: 原 方 程 可
x 2 - 24x + 160
化为 x2 + 1 +
y2 + 16 = 13, 其
中令 y = 12- x. 构
造 vABC 如 图, 使
NC = 90b, AC =
图1
12, A B = 13, 则 BC = 132 - 122 = 5. 再 作 vABC 的内接矩形如图 1, 使 CD = 4, 则 DB = 1. 设 N C = MD = x , NA = y, 则 BM + MA =