空间与轴对称问题有限元分析

1 1 1 1 11 6 1 61 1 1
3 P x y z 3 x11 y11 z11 2 2 2 x y z x24 y24 z24 3 2 3 2 3 2 1 剩下来的工作基本和三角形常应 1 x y z x y32 z32 P 3 2 3 4 3 4 3 4 3 变单元类似。 xx y z y z 4 4 4
5
2
6
4753、5674、6874
以折面3465分
23Biblioteka Baidu1、4352、4562
空间问题
4 六面体类单元的形函数 1）八结点单元 类似平面问题矩形线性单元，由试 凑法可建立形函数如下： 2）二十结点单元 和平面问题一样，基于 试凑法，可以根据上述 八结点低阶单元形函数 构造各顶点形函数。
6 ξ 2 5 ζ 20 7
轴对称问题
在柱坐标下轴对称问题的几何方程为
u r r 0 径向位移 教材上 r w 0 有推导 z z z u 的示意 w u 1 图，参 0 r r 考弹性 rz 轴向位移 u w 力学。 z r z r 根据具体单元,代入所建立的位移模式,即可得应变矩 阵B。由于算子中有1/r，所以三角形环单元B不再是常 数矩阵。
7
连47、46、63
5
3764、6874、3642
以折面2376分
3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体 4 4 B 6型
3
1 2 3 1 7 8 5 4 2 7 6 8 5
空间问题
2
6
连23、35、45
7
5
连45、46、67 4562、5674、6874
2453、4753、2351
ζ 5 8
7
1 3 8 12 η 4
η
4
1 N i = 1+ξ0 1+η0 1+ ς 0 8
6 10 2
17 9 ξ
1
14
11
3
作业：32结点三次单元
空间问题
5 五面体类单元的形函数 用于与六面体单元联合，解决边界 形状不规则物体的分析。 1）试凑法建立六结点形函数
3 1
ζ 2
L2
P
2
与三角形单元一样，体积坐标为Ti =Vi /V ,三个是 独立的，它有“本1，它0，总和1”的性质。
作业：自学单元列式内容。 1
空间问题
2 十结点（二次）四面体单元形函数 类似于平面六结点二次三角形单元， 采用试凑法建立结点的形函数。
T2 2 5
N1=a×785×234=a×(T1-1/2)×T1
3 2 3 4 3 1 8 7 8 5 8 2
2358间 连6根对 角线
相邻六面体 8 必须一个为 A5另一个 5 3 为B5
7
共同点 2 2 相对面对角线 8 相互空间交叉
6 6 35 1 2
5
B 5型
5
3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体 4 A 型 6 4
4 3 8 7 5 3 1 1 6 7 2 6 6 2 3
空间问题
8
5
5
连47、76、63 6874、5673、4763
连23、25、63
以折面3564分
2351、3562、3642
3 形成四面体的对角线划分方法 两种A6划分 2）先划为五面体再划分为 6个四面体 结果完全相同 4
3 1 2
空间问题
A 6型
4
3 8 7 6
2
7
3
6
1 8 2
5
6
连35、52、63 3562、5673、 2351
空间问题
3 形成四面体的对角线划分方法
先划分成六面体再分为四面体 1）六面体划分为 5个四面体 A 5型 1467间连 6根对角 7 线
7 3 1 8 7 1 5 6 5 7 8 47 4 3 1 6 1 2
4
4 2
1 4
6
6
6
空间问题
3 形成四面体的对角线划分方法 1）六面体划分为5个四面体 4
6
课堂练习：建立15结点五面体单元形函数。
2）三维等参元列式 基本思想和平面问题一样，具 体列式参看P.101～P.104。
1 N i Li 1 (i 1, 2,3) 2 1 N i+ 3 Li 1 2
L1 4
5
轴对称问题
工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及 作用的荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平 面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分析称为轴对 称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋 1 离散化 转一周的结果，因此轴对称问题分析可在子午面内 划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所 因此可用的单元 得“圆环形单元”对物体进行离散。 与平面问题一样。 对轴对称问题进行分析一般取柱 2 应力与应变 坐标系，对称轴为Z轴，径向为r 轴，环向为θ轴。
为使N1满足本点为1，可得a=2， 代回后得 N1 =T1 (2T1-1)
3
6
4 O
7
8
1
T1
余者类似，也可按如下通式得到：
T3
Ni =
j=1
p
S T1i ,T2 i ,T3 i ,T4i
i j
S ij T1 ,T2 ,T3 ,T4
请大家 自行验 证！
式中p为形函数阶次，分子为不通过i点的平面方程 左端项，分母中括号内为i点体积坐标。
以折面2475分
3 形成四面体的对角线划分方法 两种B6划分 2）先划为五面体再划分为 6个四面体 结果也完全相同
4 3
空间问题
B 6型
4
4
3 1
7
作业：P.95 给出了由六面体8个角 3 2 8 1 点点号，按式 (4.1.25) 求 A6和A5型 6 四面体结点号的方法。请考虑 B6 8 5 5 6 和B5型的计算公式。 连32、25、54 连47、76、54 7
平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体， 称为轴对称物体，是一类特殊的空间问题。
空间问题
1 常应变四面体单元形函数
四面体 与平面三角形单元相对应，四面 各子四面体 3 总体积 体单元内任一点可用“体积坐标” 体积 4 (右旋 来表示。 体积正)
P
4 2 4 2 P 21 4
V3 2 4 1
概
述
三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形 体复杂，不可能像上一章那样简化成平面问题处 理，这时必须按空间问题求解。 建立网格自动生成前 处理程序 与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个 困难： 采用高阶单元来提 1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样 高单元精度 直观，人工进行离散时很容易产生错误； 2）未知量的数量剧增。