管理运筹学第二章-线性规划应用(建模)

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五、投资问题
3）目标函数及模型：
a)
Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 s.t.x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )， x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）
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设 xij ( i = 1—5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资 于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我 们建立如下决策变量：
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
D
x24
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(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主 要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条 件的个数。这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾， 在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。
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线性规划应用
建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：
(1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式 表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极 大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h， 问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又 配备最少司机和乘务人员?
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一、人力资源分配的问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建
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四、配料问题
目标函数：
利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件：规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
Max
z =150(x11+x12+x13)+85(x21+x22+x23)
+65(x31+x32+x33)-65(x11+x21+x31) -25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33)
立如下的数学模型。 目标函数：
Min z= x1 +x2 +x3 +x4 +x5
约束条件：
s.t. x1 + 2x2 + x4 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3+ 3x5 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
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1.4
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二、套裁下料问题
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 1 0 3 7.4
0
方案 2 2 0 1 7.3
0.1
方案 3 0 2 2 7.2
0.2
方案 4 1 2 0 7.1
0.3
方案 5 0 1 3 6.6
0.8
假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建
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▪ 约束条件用大于等于号时，目标函数本来求所 用原料最少和求料头最少是一样的。
▪ 但由于第一个下料的方案中料头为零，无论按 第一下料方案下多少根料，料头都为零，所以 目标函数就一定要求是原料最少。
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三、生产计划的问题
[例3] 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品， 都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、 乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生 产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据 如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、 丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸 造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
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五、投资问题
2）约束条件：
第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，
于是：
≤ 1x第 x第 x第 x第 xB0、12345111110二三四五++++=C、年年年年xxxx11.2234D：：：：2221的=++xB年年年=4次投2xx1初初初023+143年资0.的的的11==末限.x资 资 资23111才 制5.+.金 金 金x11可 ：31xx2为 为 为.12收112+111x5...回ix211112.≤xxx投222341115资+++x311110故...2222(第555xxxi二123222=， ， ，1年，于 于 于年2是 是 是，初： ：3的：，资4金)，为x13.31x≤11，80于，是x2：4
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三、生产计划的问题
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时(小时/件)
5 10 7
8000
机加工工时(小时/件) 6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件) 3
5
4
外协铸件成本(元/件) 5
6
--
பைடு நூலகம்
机加工成本(元/件)
2
1
3
装配成本(元/件)
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五、投资问题
[例5] 某部门现有资金200万元，今后五年内考
虑给以下的项目投资。已知：项目A ：从第一年到第
五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项
目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末
能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30
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二、套裁下料问题
[例2] 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m, 2.1m, 1.5m的圆钢各一 根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解:考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
风险指数（次/万元） 1 3 4
5.5
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资 金的本利金额为最大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资 金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
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五、投资问题
解：1）确定决策变量：连续投资问题
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 1 0 3 7.4
0
方案 2 2 0 1 7.3
0.1
方案 3 0 2 2 7.2
0.2
方案 4 1 2 0 7.1
0.3
方案 5 0 1 3 6.6
0.8
方案 6 1 1 1 6.5
0.9
方案 7 0 3 0 6.3
1.1
方案 8 0 0 4 6.0
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第二章 线性规划的应用
国际医药商学院
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1
人力资源分配的问题
2
套裁下料问题
3
生产计划的问题
4
配料问题
5
投资问题
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线性规划应用
线性规划---
合理利用线材问题：如何下料使 用材最少。
配料问题：在原料供应量的限制 下如何获取最大利润。
投资问题：从投资项目中选取方 案，使投资回报最大。
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一、人力资源分配的问题
[例1] 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员 数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00
22： —— 2：00 2：00 —— 6：00
不限
单价（元/kg） 150 85 65
原材料名称
1 2 3
每天最多供应量
100 100 60
单价（元/kg） 65 25 35
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四、配料问题
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j
的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：
对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；
立如下的数学模型。
目标函数：Min z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
这样我们建立如下数学模型：
目标函数: Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5
约束条件：
s.t. 5x1+10x2+7x3 ≤ 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 ≤12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
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四、配料问题
[例2.14] 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不 同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排 生产，使利润收入为最大？
产品名称 甲 乙 丙
规格要求 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50%
万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收
回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项
目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利
155%，但规定最大投资额不能超过100万元。
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五、投资问题
据测定每万元每次投资的风险指数如下表：
项目
A B C D
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线性规划应用
产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，
使获利最大。 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的
需要。 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最
小。
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线性规划应用
数学规划的建模有许多共同点，要遵循下列原则： (1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解， 还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型 的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。 (2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然 与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。
=85x11+125x12+115x13+20x21+60x22+50x23 +40x32+30x33
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四、配料问题
s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0
（甲对原材料1的规格要求）
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0
方案 1 2 0 1 7.3
0.1
方案 2 1 2 0 7.1
0.3
方案 3 1 1 1 6.5
0.9
方案 4 1 0 3 7.4
0
方案 5 0 3 0 6.3
1.1
方案 6 0 2 2 7.2
0.2
方案 7 0 1 3 6.6
0.8
方案 8 0 0 4 6.0
1.4
把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出
3
2
2
产品售价(元/件)
23 18 16
解：设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的 件数，x4, x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品
的件数。
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三、生产计划的问题
求 xi 的利润:利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi （i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。
（甲对原材料2的规格要求）
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0
（乙对原材料1的规格要求）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0
（乙对原材料2的规格要求）
x11+x21+x31≤ 100 (供应量限制） x12+x22+x32≤ 100 (供应量限制） x13+x23+x33≤ 60 (供应量限制） xij≥0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3