高等代数习题课

练习：
E12
E21
（E12 +E21）
E22 E22
答案：n(n 1) 2
（2）数域p上2阶上三角矩阵作成的空间u。 解：
E11，E12，E22
E11
E12
E22
练习：
答案：n(n 1) 2
方法：观察矩阵元素特点，找到矩阵空间的基。
（3wenku.baidu.com数域p上2阶反对称矩阵作成的空间V。 注意：A是反对称 AT A aij a ji
解：
r1 r2
r2 r1 r1 r2
r2 r1
A1
1 2 r2
A1B
1 2 r2
解：把坐标关系写成矩阵形式
坐
y1 1

y2 y3



1 1
0 1 1
0 x1
0 1


x2 x3

标 变 换 公 式
两组基的基变换为
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A，
则
坐
x1
x1

x2

=
A1

x2

xn
xn
或者
x1

x2


x1
A
x2
标 变 换
xn
基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵
(2) 若多项式f (t )在两组基下的坐标为x=（x1, x2 , x3 , x4）,
则由坐标变换公式有x Cx,即(I C )x 0
以(I C)为系数矩阵，x1, x2 , x3, x4为 未知数的齐次线性方程组
解得x 1
=x
2
=x
3
=x
4
=0，故在两组基下坐标相同的多项式只有
xn
公 式
反之任一向量在两组基下坐标若满足上面式子，则
其基变换为
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A，
1，t，t2， t3
1
解： f1, f2, f3, f4
1, t, t 2 , t 3

1
1

1
0 1 1 0
0,
k1 k2 k4 1.
解方程组，得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0 ，即为 在基 1, 2 , 3, 4 下的坐标．
解法二，引入标准基，利用坐标变换求。
1．（ D ）在实数域 R 中，由全体 3 阶矩阵所构
成的线性空间 V 的维数为 （A）2； （B）4； （C）6； （D）9。
1 1 0
通过过渡矩阵A


0
1
1所得到的新基1,
0 0 1
2 , 3,并求 1 2 2 53在基1, 2 , 3下
的表达式.
解 设欲求的新基为 1, 2, 3,由题设有
( 1, 2 , 3) ( 1, 2 , 3)A
4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的 集合，对于向量的加法和数量乘法； 解：不构成线性空间。
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
(a1, b1) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 a1a2 )
，
k
(a1,
b1)

(ka1,
kb1

k
(k 1) 2
项式的加法和数量乘法；
解 1）不能构成实数域上的线性空间．
因为两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，所以
对加法不封闭．
3）全体 n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的
加法和数量乘法； 解：由于矩阵加法与数量乘法满足八大定律，所以只需
证明对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．
所以n级实对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法构成 线性空间； 同理反对称，上三角也构成线性空间。
f (t) 0 f1 0 f2 0 f3 0 f4 0
利用初等行变换求逆阵的 方法，还可用于求 矩阵A1B .
即
A1( A B) (I A1B)
(A B)
初等行变换
I A1B
构造矩阵 P =(B ) ，并对其进行初等行变换，
将 B 化成单位矩阵 E 时，矩阵 就化成了 B 1 ：

5
3

(
1,
2,
3)

2

坐标
5
则在基
1,

2,

下的坐标
3
x1
1 1 1

x2

A1

2



0
1
x3
5 0 0
0
1

1
1

2

1 5
1 1 1 1 2 0 1 1 2 3,
1 1 0 0
1
0

0
0

过 渡 矩 阵
0
g1, g2, g3, g4
1, t, t 2 , t 3

1
1
1 0 1
1 1 0
1
1

1
过 渡 矩 阵
B A

1
1
1
0

所以 g1, g2 , g3 , g4 f1, f2 , f3 , f4 A-1B
-1 0
1 -1
0 1

-1
-1
3
1

1
-
2
=

-1 -2
，
1


2
-
3
=


-2 -1
，
3


3
=


2 1

由基和过渡矩阵求另一组基
例如 在 R3中,求由基
1 (1,0,0)T ,2 (1,1,0)T ,3 (1,1,1)T
（课本267页,5题）
5．证明：在实函数空间中，1, cos2 t, cos 2 t 是线性相关的．
证明：
从而cos 2t，cos2 t，1线性相关。
几种常见矩阵空间的基，维数
下列特殊矩阵对于矩阵加法和数乘运算都构成线性空间。 （1）数域p上2阶对称矩阵作成的空间w。
解：
E11 E11 E11，（E12 E21），E22
1 1 0


(1, 2 , 3) 0 1 1
0 0 1
( 1, 1 2 , 2 3)
所以 1 (1,0,0)T , 2 (0,1,0)T , 3 (0,0,1)T 是
所求的新基.
1



1

2
2
a12
)
解：构成线性空间，验证运算封闭性及八大定律即可。
注意这里的加法，数乘的特点
6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义
的数量乘法：k 0。
解：不能构成实数域上的线性空间．
因为1 0 ，故不满足定义的第 5 条规律．
7）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k ；
解：不能构成实数域上的线性空间．
因为， (k l) ， k l 2
故不满足定义的第7条规律．
注意：在线性空间中，只有 加法：元+元 数乘：k元，即元的倍数
两种运算，元素间无其余运算，比如不存在元之间的 乘法，除法等。
在线性空间中判断向量间的线性 相关性
2. 复数集 C 作为实数域 R 上的线性空 间的维数为 2维 。
3．求线性空间 Px 中多项式 f (x) 2x2 2x 2 在基
3
1
1, x 1, x 12 底下的坐标为

2 2

基怎么排，坐标。就怎么排
分析：
因此对比两边同次幂的系数解得
k1 =1，k2 =2，k3 =2

a21 a22
2 2


n a1n1 a2n 2
an1 n
an2 n ①
ann n
,n ；
写成矩阵形式即， (1, 2 , , n ) (1, 2 ,
简单记为
a11 a12
,

n
)

a21
a22
an1 an2
§6.1 -6.4 习题课
一、判断是否为线性空间的方法 二、在线性空间中判断向量间的线性 相关性 三、几种常见矩阵空间的基，维数 四、熟练掌握基变换和坐标变换
判断是否为线性空间的方法（课本267页,3题）
3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域
上的线性空间：
1） 次数等于 n （ n 1）的实系数多项式的全体，对于多
关于主对角线对称元成相反数
解：
E11
（E12 -E21）
E22
E11，（E12 -E21），E22
练习：
答案：n(n 1) 2
熟练掌握基变换和坐标变换
设V为数域P上n维线性空间，1, 2 , 1, 2 , , n 为V中的两组基，若

1 2

a11 1 a12 1
0 0 1 5 5
故
21 3253.
求向量在基下的坐标（课本268页,7题）
7．在 P 4 中，求向量 在基 1, 2 , 3, 4 下的坐标，设
2） 1 (1,1, 0,1), 2 (2,1,3,1), 3 (1,1, 0, 0), 4 (0,1, 1, 1), (0, 0, 0,1)
5. 设1,2 ,3 是线性空间 V 的一组基， x11 x22 x33 ，
则由基 1,2 ,3 到基 2 ,3,1 的过渡矩阵 T ＝
，而
在基 3,2 ,1 下的坐标是
.
分析：
4.
在线性空间
R22
中，
A

1

3
2
4

在基
1


1 0
0 0
，2

0

0
1
0

，
1
3

0

1
0
0

，4

0

0
0
1

下的坐标为_______23__基__怎__么__排_. ，坐标就怎么排
分析：
4
解法 1 设 在基 1, 2 , 3, 4 下的坐标为 (k1, k2 , k3, k4 ) ，则有
k11 k2 2 k33 k4 4 ．
k1 2k2 k3 0,
2）将向量等式按分量写出，得
k1
k2 k3 k4 3k2 k4 0,
a1n
a2
n

过 渡 矩
ann 阵
A
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A 基变换公式
设 V 且ξ在基 1, 2 , , n与基 1, 2 , , n下 的坐标
分别为( x1, x2 , , xn )与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
从而必有基变换公式
1 0 0 -1 过

1，
2，
3


1， 2， 3


1 1
1 1
0 1

渡 矩 阵
1 0 0 -1 过

1，
2，
3


1，
2， 3


1 1
1 1
0 1

渡 矩 阵
1 0 0

1，2，
3