有理函数积分

万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2

x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：

1 dx . 2 x( x 1)

1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
A 2B 0
B 2C 0
AC 1
4 A 5
1 4 2x 1 原式 = 5 1 2x 1 x2
2 B 5 1 C 5
2. 有理函数的积分 四种典型部分分式的积分: A 1. dx A ln x a C xa
A A 1 n ( x a ) C (n 1) 2. d x 1 n ( x a) n
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例5. 求
解:
2 x 5x 2x 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
3
2
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2

2 Mx N p Mp 2 dx (a q , b N ) 2 4 2 x px q
这三类积分均可积出,
且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
注意
以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对 一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考 虑用其它的简便方法. 如
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1 1 2 ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
例9. 求
1
2
解: 原式
cos x
dx
2
a tan x b
2
2
1 d tan x 2 2 a tan 2 x ( b ) a
1 a arctan( tan x ) C ab b
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
(2) 用赋值法
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2)
x 3 x 2 A( x 3) B( x 2) x 2 x 3 x 3 A( x 3) B( x 2) x 3
x x
d( x 1 ) x
d( x 1 ) x

1 2 2
arctan
x1 x
1 1 C ln 2 22 2 x1 2 x
x1 2 x
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分 设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
x 令 t tan 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 原式 2 5 1 2x 5 1 x2 5 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
例4. 求 解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2
m n 时,
有理函数
为假分式; m n 时,
相除 分解
为真分式
多项式 + 真分 式
若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A MxN 2 ; ( k N , p 4q 0 ) k 2 k ( x a) ( x p x q)
有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ( x a )k ，则分解后为
1
2t
2t 1t 2
2 1 t ) 2 (1 2 1t 1t
22 1 t
1 1 dt t 2 2 t
dt
1 1 2 t 2t ln t C 2 2
1 2x x x 1 tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x1

1 ln x ln( x 1) C . x 1
例3. 求 解: 已知
1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 2
1 例10. 求积分 4 dx . sin x
x 解法 1： u tan , 2 1 1 3u 2 3u 4 u 6 du sin4 x dx 4 8u
1 1 3 u [ 3 3u ] C 8 3u u 3
3 x 1 x tan tan C . 3 x 8 2 24 2 x 8 tan 24 tan 2 2 1 3
2
A C 0 A B 0 B1
A 1 B1 C 1
但若
1 A B 2 2 x ( x 1) x x 1
A( x 1) Bx2 1
A 0, A 1
矛盾
（2）分母中若有因式 ( x 2 px q)k ，其中
p2 4q 0, 则分解后为
M1 x N 1 M2 x N 2 2 2 2 x px q ( x px q ) Mk x N k 2 ( x px q )k
其中 M i , N i 都是常数 ( i 1, 2,
,k )
Mx N . 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q
(1) n 1,
p x M b 2 2 C; ln( x px q ) arctan 2 a a Mx N dx (2) n 1, 2 n ( x px q ) 递推公式 M 1 b 2 dt . 2 2 n 1 2 n 2( n 1)( t a ) (t a )
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
一、 有理函数的积分 1. 有理函数的分解 n n1 a x a x an P( x) 0 1 有理函数: R ( x) Q( x)
x 2x 3
2
2
dx
d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例4
Ak , k ( x a)
一项也不能少，因为通分后分子上是 x 的 k 1 次 多项式，可得到 k 个方程，定出 k 个系数，否则 将可能会得到矛盾的结果.
1 A B C 2 例如 2 x ( x 1) x x x 1
Ax( x 1) B( x 1) Cx 1
A1 A2 2 x a ( x a) Ak , k ( x a)
其中 A1 , A2 , 特殊地：k 1,
, Ak 都是常数
A . 分解后为 xa
注: 关于部分分式分解
1 进行分解时 如对 k ( x a)
A1 A2 1 2 k x a ( x a) ( x a)
p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a2 , M x N M t b,
2 p Mp 2 , b N , 则 a q 2 4
Mx N 2 dx n ( x px q) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
例6. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2
dx 例7. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
注意本题技巧
dx
按常规方法较繁
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
故
A 5 B6
5 6 原式 x2 x 3
(3) 比较系数法 1
Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x ( A C ) 2 (1 2 x )(1 x ) (1 2 x )(1 x 2 )
x sin 2 x 1 tan 2 x 2 cos 2 2 1 t 2 2 cos x 2 2 2 2 x cos x 1 tan x sin 2 1 t 2 2 2 dx d t 1 t 2
1 sin x sin x(1 cos x) dx