5-3 正定二次型与正定矩阵习题评讲

５－３ 正定二次型与正定矩阵习题评讲
１２、如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，证明：Ａ＋Ｂ为正定矩阵。

证明１：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。

因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
Ａ
Ｘ和ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
ＢＸ都是正定二次型。

实二次型ｈ（ｘ１，ｘ
２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ＝ＸＴＡＸ＋ＸＴ
ＢＸ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）。

所以对任意不全为零的实数Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ，因为ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，从而有
ｈ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＝ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＋ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）
＞０，所以实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
（Ａ＋Ｂ）Ｘ正定，从而Ａ＋Ｂ是正定矩阵。

证明２：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。

因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以对任意ｎ维非零实列向量Ｘ０，都有
Ｘ０ＴＡＸ０＞０；Ｘ０Ｔ
ＢＸ０＞０；
Ｘ０Ｔ（Ａ＋Ｂ）Ｘ０＝ Ｘ０ＴＡＸ０＋Ｘ０Ｔ
ＢＸ０＞０， 所以Ａ＋Ｂ是正定矩阵。

】
Ｐ２６３ 总自测题 证明题
（２）设ｎ维列向量α与任何ｎ维向量都正交，证明：α＝０。

证明：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），取ｎ维单位向量εｊ＝（０，…，０，１，０，…，
０），ｊ＝１，２，…，ｎ。

有（α，εｊ）＝ａｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ，所以α＝０。

８、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵：
（１）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111121111；（２）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112；
（３）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----
52
1212112
1
1。

解（１）：Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111121111是实对称矩阵，第三个顺序主子式Δ３＝A ＝０，Ａ不是正定矩阵。

解（２）：Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112是实对称矩阵，第三个顺序主子式 Δ３＝A ＝2
1
112
1112
------＝2
1
112
1
00----＝０，Ａ不是正定矩阵。

）
解（３）：实对称矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--
--
52
12121
12
1
1所有顺序主子式为：
Δ１＝１＞０；Δ２＝
1
2
1
21
1
-
-
＝43＞０；
Δ３＝5
2
1
2121
12
11
--
--
＝52
1
42121241----＝1
421
21241---＝2
11241--＝43
＞０
所以Ａ是正定矩阵。

９、确定参数λ的值，使下列二次型正定：
（１）５ｘ１２＋ｘ２２＋λｘ３２
＋４ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３；
（２）２ｘ１２＋ｘ２２＋３ｘ３２
＋２λｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３。

解（１）：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----λ11112125，Ａ的顺序主子式为：
Δ１＝５＞０； Δ２＝
1
225＝１＞０
Δ３＝λ
1
111
2125
----＝1
0111
21
1--λ＝1
111-λ＝λ－２。

…
ｆ正定⇔Ａ正定⇔Δ３＞０⇔λ－２＞０⇔λ＞２。

解（２）：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡3010112λλ，Ａ的各阶顺序主子式为： Δ１＝２＞０；Δ２＝
1
2λλ
＝２－λ２
；
Δ３＝301
011
2λ
λ＝0
35011
2λλλ--＝λ
λ351--＝－３（λ２
－35）；
ｆ正定⇔Ａ正定⇔⎪⎩⎪
⎨⎧>-->-0
)35(30222λλ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧<<352λλ⇔3
5<λ。

１０、设有二次曲线方程ａｘ２
＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０）。

证明：当ｂ２
＜ａｃ时，曲线为一椭圆；当ｂ２
＞ａｃ时，曲线为一双曲线。

证明：对二次曲线方程ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０），
对应的实二次型为：ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
（ａ＞０），
ｆ的矩阵为Ａ＝⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡c b b a ，Ａ是实对称矩阵，且A ＝2b ac -。

对实二次型ｆ（ｘ，ｙ），存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵）化为标准形： &
ｆ（ｘ，ｙ）＝λ１2x '＋λ２2y '，其中λ１，λ２是Ａ的特征值。

这个正交变换，化二次曲线ａｘ２
＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０）为如下形式： λ１2x '＋λ２2y '＝１
该二次曲线是椭圆⇔λ１，λ２都是正数⇔ｆ（ｘ，ｙ）正定⇔Ａ的所有顺序主子式都大于零⇔Δ１＝ａ＞０，Δ２＝A ＝2
b a
c -＞０⇔ｂ２
＜ａｃ。

该二次曲线是双曲线⇔λ１，λ２一个是正数，另一个是负数⇔λ１λ２＜０。

因为λ１λ２＝A ＝2
b a
c -，所以该二次曲线是双曲线⇔2
b a
c -＜０⇔2
b a
c <。

１１、如果矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ是正定矩阵，证明：ａｉｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）。

证明：令εｊ＝（０，…，０，１，０，…，０）Ｔ
，ｊ＝１，２，…，ｎ。

有
εｊＴ
Ａεｊ＝ａｊｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ。

因为Ａ＝（ａｉｊ）是ｎ阶正定矩阵，对任意ｎ维非零实列向量Ｘ，都有ＸＴ
ＡＸ＞０，特别对Ｘ＝εｊ结论也成立，所以ａｊｊ＞０，ｊ＝１，２，，ｎ。

１３、利用定理５．３的推论２证明：实对称矩阵Ａ正定的充要条件是存在可逆矩阵Ｍ，
使得Ａ＝ＭＴ
Ｍ。

# 证明：必要性：如果Ａ正定，则存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴ
ＡＣ＝Ｅ，于是，
Ａ＝（ＣＴ）－１ＥＣ－１＝（Ｃ－１）ＴＣ－１。

令Ｍ＝Ｃ－１
，则Ｍ是可逆矩阵，使
Ａ＝ＭＴ
Ｍ。

充分性：如果Ａ是实对称矩阵，且存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴＭ，即Ａ＝ＭＴ
ＥＭ，
所以（ＭＴ）－１ＡＭ－１＝Ｅ，即（Ｍ－１）ＴＡＭ－１＝Ｅ，其中Ｍ－１
是可逆矩阵，故Ａ与Ｅ合同，从而Ａ正定。

１４、如果矩阵Ａ正定，且存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴ
ＡＣ＝Ｂ。

证明：矩阵Ｂ是正定矩阵。

证明１：因为Ａ正定，所以Ａ是实对称矩阵。

又因为存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴ
ＡＣ＝
Ｂ，故Ｂ也是实对称矩阵。

因为Ａ正定，所以存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴ
Ｍ，于是有
Ｂ＝ＣＴＡＣ＝ＣＴＭＴＭＣ＝（ＭＣ）Ｔ
（ＭＣ），其中ＭＣ是可逆矩阵，于是Ｂ是
正定矩阵。

证明２：当Ｂ＝ＣＴ
ＡＣ［Ｃ可逆］时，由Ａ是实对称矩阵知，Ｂ也是实对称矩阵。

对每一个非零列向量Ｘ，有ＣＸ是非零列向量，且Ａ是正定矩阵，所以 。

ＸＴ
ＢＸ＝ＸＴ
（ＣＴ
ＡＣ）Ｘ＝（ＣＸ）Ｔ
Ａ（ＣＸ）＞０， 所以Ｂ是正交矩阵。

Ｐ２１７ 第五章自测题
２、单选题
（２）（２）二次型ｆ＝ＸＴ
ＡＸ（Ａ为实对称矩阵）正定的一个充要条件是（ ）。

（Ａ）det （Ａ）＞０； 必要不充分
（Ｂ）存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴ
ＡＣ成为对角矩阵； 所有实对称矩阵的共性 （Ｃ）Ａ可逆； 必要不充分
（Ｄ）存在可逆矩阵Ｍ，使得Ａ＝ＭＴ
Ｍ。

Ｐ２１６，１３题 解：选Ｄ。

【
（５）已知矩阵Ａ＝⎥⎦⎤
⎢⎣⎡c b b a 正定，ｋ１和ｋ２都是正常数，则矩阵Ｂ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡c k b k k b k k a k 22122121（ ）
（Ａ）不是对称矩阵； （Ｂ）是正定矩阵；
（Ｃ）必是正交矩阵； （Ｄ）是奇异矩阵。

解：显然Ｂ是实方阵。

已知 Ａ＝⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡c b b a 正定，顺序方子式a a =＞０，c b b a ＞０。

因为ｋ１和ｋ２都是正常数， Ｂ的顺序主子式：Δ１＝a k 2
1＝ｋ１２
ａ＞０，
Δ２＝c
k b k k b k k a k 2
212212
1＝c k b k b k a k k k 212121＝c b b a
k k 2221＞０，Ｂ是正定矩阵。

选（Ｂ）。

３、计算题
（３）若二次型ｆ＝２ｘ１２＋６ｘ２２＋ｔｘ３２
－２ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３正定，求实数ｔ的
取值范围。

解：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----t 01061112，Ａ的顺序主子式为：Δ１
２＞０，
！
Δ２＝
6
1
12--＝１１＞０，Δ３＝t 0
1
061
112
----＝t
1
6011
112----＝t 16
11--
＝１１ｔ－６。

ｆ正定⇔Ａ正定⇔１１ｔ－６＞０⇔ｔ＞
11
6。

（４）设矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--30082010101，试判别二次型ｆ＝ＸＴ（ＡＴ
Ａ）Ｘ是否正定其中Ｘ＝
（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ。

解１：A ＝－６≠０，Ａ是可逆矩阵，而Ｂ＝ＡＴ
Ａ是实对称矩阵，据２１６页１３
题知，Ｂ是正定矩阵，从而ｆ是正定二次型。

解２：A ＝－６≠０，Ａ是可逆矩阵，对任意３维非零实列向量Ｘ，ＡＸ也是３维非
零实列向量，且有
ｆ＝ＸＴ
（ＡＴ
Ａ）Ｘ＝（ＸＴ
ＡＴ
）（ＡＸ）＝（ＡＸ）Ｔ
（ＡＸ）＝2
AX
＞０，所
以ｆ是正定二次型。

４、证明题
（２）设Ａ是正定矩阵，证明Ａ２
也是正定矩阵。

证明１：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２
也是实对称矩
阵。

正定矩阵Ａ是可逆矩阵，由Ａ２＝ＡＡ＝ＡＥＡ＝ＡＴＥＡ得，Ａ２
与Ｅ合同，故Ａ２
也是正定矩阵。

证明２：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２
也是实对称矩
阵。

正定矩阵Ａ是可逆矩阵，由Ａ２＝ＡＡ＝ＡＴＡ，据１３题结论知Ａ２
也是正定矩阵。

【
证明３：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２
）Ｔ
＝（ＡＴ
）２
＝Ａ２
，Ａ２
也是实对称矩
阵。

正定矩阵Ａ是可逆矩阵，且ＡＴ
＝Ａ，对任意非零实列向量Ｘ，ＡＸ也是非零实列向量，且
ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡ２Ｘ＝ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＝（ＸＴＡＴ）（ＡＸ）＝（ＡＸ）Ｔ
（ＡＸ）
＝2
AX ＞０，所以ｆ（Ｘ）是正定二次型，从而Ａ２
是正定矩阵。

Ｐ２１９ 总自测题
１、填空题
（１０）若矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡t 20220002正定，则ｔ的取值范围是 。

解：实对称矩阵Ａ的顺序主子式为：Δ１＝２＞０，Δ２＝
2
002＝４＞０，
Δ３＝t 20220
02＝2
002200
02-t ＝４（ｔ－２）；
Ａ正定⇔ｔ－２＞０⇔ｔ＞２。

２、单选题
（１０）若实对称矩阵Ａ与矩阵Ｂ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-400020001相似，则二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴ
ＡＸ是（ ）
（Ａ）正定的； （Ｂ）负定的； （Ｃ）不定的； （Ｄ）半正定的。

解１：据题设，存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵），使
实二次型ＸＴＡＸ＝ｙ１２＋２ｙ２２－４ｙ３２。

ｆ的正惯性指数ｐ＝２，ｆ的负惯性
指数ｒ－ｐ＝１，ｆ是不定的，选（Ｃ）。

解２：据题设，存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵），使
实二次型ＸＴＡＸ＝ｙ１２＋２ｙ２２－４ｙ３２。

ｆ的正惯性指数ｐ＝２＜３，ｆ不正定；
ｆ的负惯性指数ｒ－ｐ＝１＜３，ｆ不负定，也不半正定；选（Ｃ）。