网络连通性

一、连通性定义

（a ）k 连通（k=2） （b ）全连通

（c ）渗透 （d ）不渗透

（a ）图所示的网络容错能力较强，任意k-1个节点的失效都不会分割网络，这是E 网络想达到的目的；

（b ）图所示的网络能保证任意两个节点之间的通信，但网络的容错能力较差，某些节点的失效会造成网络的分割，阻碍正常的通信；

（c ）图所示的网络能保证大部分节点之间点对点的通信；

（d ）图所示的网络存在多个较小的连通分支，所以不能有效的完成任意节点之间的通信，这是我们想达到的目的。 二、网络场景

1. E 节点：Mesh + Ad hoc

Mesh 节点服从节点密度为1E λ的泊松点分布，最大发送功率为1E P ； Ad hoc 节点服从节点密度为2E λ的泊松点分布，最大发送功率为2E P ；

E 节点之间采用跳频技术通信，单信道带宽为B HZ ，总的可用信道数为K ，数据传输速率要求为R ≥bps ；

Mesh 节点和Ad hoc 节点可以相互协作完成通信（任意E 节点可以作为relay ）。

Mesh + ad hoc

2. Jammer 节点

Jammer 节点服从节点密度为J λ的泊松点分布，最大发送功率为J P ，其分布与E 节点相互独立；

Jammer 节点通过发送干扰信号的形式产生干扰场，从而降低E 节点的无线信道质量，其中jamming 信号相对E 节点的干扰系数为γ（其大小取决于E 节点的干扰消除技术）； Jammer 节点可以通过获取局部信息改变发送干扰信号的时间和频率特性，具体表现为干扰信号的发送频率、持续时长和干扰的频段的选择。

Mesh + ad hoc + jammer

3. 无线信道模型：仅考虑路径损耗（路径损耗指数为α）和环境噪声0N

三、空域连通性分析

一对E 节点存在无线链路的条件为他们之间的信道容量大于所需的信息传输速率R ：

01E N

i i P r Blog 1+R I N αγ-=⎛⎫ ⎪

⎪≥ ⎪

+

⎪⎝⎭

∑

其中

1

N

i

i I

=∑为所有jammer 节点对E 接收节点所造成的干扰信号的总和。

根据映射定理可知一个E 节点的邻节点数服从均值为E β的泊松分布：

()

E 00102

E 2

2

0121221E

E N i i E E N

R B

i i P r

=P Blog 1+R rdr I N E r rdr P E I N αα

α

α

βλπγλππλγ-∞=∞=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥ ⎪ ⎪

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ =≤ ⎪ ⎪ ⎝⎝⎭=

⎛⎫⎛⎫

-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰∑⎰∑ 其()1⋅表示指示函数，因此一个E 节点有k 个邻节点的概率为：

()E E

exp(),0,1,2,

!

k

P D k k k β

β-===

Jammer 节点可以定义为一个独立标记点过程i.m.p.p ，其节点符合泊松点分布，标记服从确定性分布（即，常数），则干扰信号总和的期望值为：

12N i J J i E I P r rdr α

λπ∞-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰ 通过以上分析可知jammer 节点会有效的降低E 节点的有效通信范

围

E r ≤

E β），而E 网络的渗透条件取决于节点密度E

λ和有效的通信范围E r （或邻节点的数目），所以足够多的jammer 节点会破坏E 网络的连通性，但jammer 节点过多又会带来较大的开销，所以问题的关键是如何设置合理的jammer

节点达到高效破坏E 网络连通性的目的。

定理1：如果c

J J λλ>，在图(,P )E E G λ中以概率1不存在无限大连通分支

定理2：如果c

J J λλ<并且E c

E λλ>，则在图(,P )E E G λ中以概率1存在唯一一个无限大的连通分支

根据以上定理可知为了使(,P )E E G λ不渗透，问题的关键变为如何寻找c

J λ，当c

J J λλ>时

(,P )E E G λ中就不会出现无限大的连通分支。要想得到c J λ，首先应该明确E 网路渗透时E

λ和E r 之间的关系，仿真结果表明两者的关系满足2

()0.36(

)2

E E E r r λ≈，更严格的约束关系为220.192()()0.843()22

E E E E r r

r λ<<。知道了上述关系后就可得到相应的c J λ，但上述的结论

是基于仿真得到的，所以根据上述结论得到的c

J λ可能不能达到准确破坏连通性的目的。所

以我们根据下面的定理设置jammer 密度。

定理3：(,P )E E G λ出现无限大连通分支的必要条件是1E β=

根据定理3我们可以通过设置足够多了jammer 节点，使得(,P )E E G λ不满足渗透的必要条件，即使1E β<，这样(,P )E E G λ中就不会出现无限大的连通分支。Jammer 密度由下面的公式得到

()()

2

*

E 2

2

1212E J

R B

J J P P r rdr N α

α

αα

πλλγλπ∞

-<⇒-+⎰

由于*c J J λλ≥，所以当*

c J J J λλλ>≥时(,P )E E G λ不会渗流。

按照上述算出的J λ来随机布设jammer 节点，对于单独的Mesh 网或Ad hoc 网均不会出现无限大连通分支，但对于Mesh 和Ad hoc 相互协作的网络中仍然可能存在无限大连通分支，原因由定理4可知：

定理4: 两个相互协作的异构网络出现无限大连通分支的必要条件是

11221

2

101ββββ--=--

其中1β为第1网络中的节点在本网路中的平均邻节点数，2β为第2网络中的节点在本网路中的平均邻节点数，

12β为第1网络中的节点在第2个网路中的平均邻节点数，21β为第2

网络中的节点在第1个网路中的平均邻节点数。

例如，当设置的J λ使得10.5β=，20.5β=，对于单独的Mesh 和Ad hoc 网均不会出现无限大连通分支，但如果120.5β=，210.5β=时，E 网络任然会出现无限大的连通分支，所以此时应该根据定理4来设置J λ使E 网络不能满足渗流的必要条件，从而达到降低连通性的目的。