浅谈随机变量的独立性

摘要

随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.

关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差

The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied Mathematics

Tutor LI Jian-li

Abstract

The independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters.

Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance

目录

1 引言 (1)

2 随机变量独立性的定义 (1)

3 随机变量独立性的判定 (1)

3.1离散型随机变量独立性的判定 (2)

3.1.1判别法一 (2)

3.1.2判别法二 (4)

3.2连续型随机变量独立性的判定 (8)

3.2.1判别法一 (8)

3.2.2判别法二 (9)

4 随机变量独立性与数字特征 (11)

4.1随机变量独立性与数学期望 (12)

4.2随机变量独立性与方差 (12)

4.3随机变量独立性与协方差 (13)

4.4随机变量独立性与相关系数 (13)

总结 (14)

参考文献 (15)

致谢 (16)

浅谈随机变量的独立性

1 引言

概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.

随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[4]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[9]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.

2 随机变量独立性的定义

定义]6[ 设ηξ,为两个随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x <ξ与

{}y <η相互独立,即

()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,, )1(

则称ξ与η相互独立.

若()y x F ,为ξ与η的联合分布函数,()x F ξ、()y F η分别是ξ与η的边际分布函数,则)1(式等价于

()()()y F x F y x F ηξ⋅=,.

3 随机变量独立性的判定

本节主要根据随机变量独立性的定义,分别对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性讨论其判别方法.

3.1 离散型随机变量独立性的判定

3.1.1 判别法一

定理1 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,

()n j m i ,,2,1;,2,1 ==,ξ的边际分布列为()i i x P p ==⋅ξ,()m i ,,2,1 =,η的边

际分布列为()j j y P p ==⋅η,()n j ,,2,1 =,则ξ和η相互独立的充要条件是:对所有的取值()j i y x ,有()n j m i p p p j i ij ,,2,1;,,2,1, ==⋅=⋅⋅.

证明 充分性

若()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅,则对任意的y x ,,因为()ηξ,是离散型随机变量,所以

()()()∑∑≤≤===≤≤=x x y

y j i i j y x P y x P y x F ηξηξ,,,

∑∑∑∑∑∑≤⋅≤⋅≤≤⋅⋅≤≤⋅=⋅==y

y j x

x i x x y

y j i x x y

y ij j i i j i j p p p p p

()()()()y P x P y P x P y

y i x

x i i i ≤≤====∑∑≤≤ηξηξ

()()y F x F ηξ⋅=.

即ξ和η相互独立.

必要性

若ξ和η相互独立,不妨设n m y y y y x x x x <<<<<<<< 321321,,则对任意y x ,,有()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,.

当11,y y x x ==时,有 ()()()1111,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ, 即

()()()1111,y P x P y x P =⋅====ηξηξ,

亦即

1111⋅⋅⋅=p p p . )2(